Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica no Espaço: Plano Tópico resolvido

[aprendiz123]

Escrever a equação do plano que passa por [tex3]P(4,-2,0)[/tex3] e é perpendicular aos planos [tex3]\pi_1: x+y-z=0[/tex3] e [tex3]\pi_2: 2x - 4y + z - 5 = 0 [/tex3]

Resposta:

---

[tex3]x+y+2z-2=0[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Um vetor normal a [tex3]π_{1}[/tex3] é:

[tex3]\vec{n}_{1}[/tex3] = ( 1 , 1 , - 1 )

Um vetor normal a [tex3]π_{2}[/tex3] é:

[tex3]\vec{n}_{2}[/tex3] = ( 2 , - 4 , 1 )

Como o plano ( π ) a ser determinado é perpendicular aos planos [tex3]π_{1}[/tex3] e [tex3]π_{2}[/tex3], então , para determinar um vetor normal ao plano ( π ) a ser determinado, devemos calcular o produto vetorial entre os vetores normais [tex3]\vec{n}_{1}[/tex3] e [tex3]\vec{n}_{2}[/tex3], temos:

[tex3]\vec{n}_{1}\wedge \vec{n}_{2}=\left[ \begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 1 & -1\\
2 & -4 & 1
\end{array} \right][/tex3]

[tex3]\vec{n}_{1}\wedge \vec{n}_{2}=-4\vec{k}+\vec{i}-2\vec{j}-\vec{j}-2\vec{k}-4\vec{i}[/tex3]

[tex3]\vec{n}_{1}\wedge \vec{n}_{2}=-3\vec{i}-3\vec{j}-6\vec{k}[/tex3]

Logo,

[tex3]\vec{n}_{1}\wedge \vec{n}_{2}=\vec{n}_{\pi }=(-3,-3,-6)[/tex3] → vetor normal a π, daí;

- 3.x - 3.y - 6.z + d = 0

Como π passa pelo ponto P( 4 , - 2 , 0 ), vem;

- 3.4 - 3.( - 2 ) - 6.0 + d = 0

- 12 + 6 + d = 0

- 6 + d = 0

d = 6

Assim,

- 3x - 3y - 6z + 6 = 0 : ( - 3 )

x + y + 2z - 2 = 0

Portanto, o plano encontrado é π : x + y + 2z - 2 = 0.



Bons estudos!