Ensino Superior ⇒ Integral: Área de uma Rosácea Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Calcular a área limitada pelas pétalas da rosácea [tex3]r=a.sen(2\theta), a>0.[/tex3]

rosácea.GIF (4.64 KiB) Exibido 16281 vezes

[paulo testoniMOD]

Hola Aldrin.

A solução do problema depende de noções de Cálculo Integral, tópico de Matemática Superior
a ser visto na Universidade nos cursos regulares da área de Ciências Exatas. Se você ainda não estudou Cálculo Integral, apenas aprecie a questão e guarde como referência para revê-la depois.

[Vinisth]

Olá ALDRIN,

Basta calcular a área de uma pétala e multiplica-la por 4. Usando coordenadas polares :
[tex3]A = 4\cdot\int_0 ^\frac{\pi}{2} \int _ 0 ^{a\sen(2\theta)} r \cdot drd\theta[/tex3]
[tex3]A = 4\cdot\int_0 ^\frac{\pi}{2} \frac{a^2\sen^2(2\theta)}{2}d\theta=2a^2\int_0 ^\frac{\pi}{2}(1-\cos(4\theta))d\theta[/tex3]
[tex3]A=2a^2\left[\theta-\frac{1}{4}\sen(4\theta) \right]_0 ^\frac{\pi}{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{A=a^2\pi}[/tex3]

Abraço !

[ManUtd]

Olá,houve um errinho na reposta final a correta é [tex3]\frac{\pi*a^{2}}{2}[/tex3].

Dá pra resolver utlizando integrais simples,bastar saber que [tex3]\frac{1}{2} \int_{a}^{b} [f(\theta)]^2 d\theta[/tex3] , calcular a área em coordenadas polares,onde [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] é a variação do ângulo [tex3]\theta[/tex3], então:

calculemos uma parte e depois multiplicaremos por 4:

[tex3]4*\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (asen(2\theta))^{2} d\theta[/tex3]

e só integrar para obter [tex3]\frac{\pi*a^{2}}{2}[/tex3].

abraços

[Vinisth]

Olá,houve um errinho na reposta final a correta é [tex3]\frac{\pi*a^{2}}{2}[/tex3].

Olá ManUtd,

Está correto sim, repare que :
[tex3]A=2a^2\left[\theta-\frac{1}{4}\sen(4\theta) \right]_0 ^\frac{\pi}{2}=2a^2\left[\frac{\pi}{2}-\cancelto0{\frac{1}{4}\sen\left(4\frac{\pi}{2}\right)}-0+\cancelto0{\frac{1}{4}\sen(0)} \right]_0 ^\frac{\pi}{2}=\boxed{a^2\pi}[/tex3]

Um grande abraço !

[ManUtd]

[tex3]A = 4\cdot\int_0 ^\frac{\pi}{2} \frac{a^2\sin^2(2\theta)}{2}d\theta=2a^2\int_0 ^\frac{\pi}{2}(1-\cos(4\theta))d\theta[/tex3]

esta última parte está errada ,veja:

[tex3]4\cdot\int_0 ^\frac{\pi}{2} \frac{a^2\sin^2(2\theta)}{2}d\theta[/tex3]

[tex3]2a^{2}\cdot\int_0 ^\frac{\pi}{2} \sin^2(2\theta)d\theta[/tex3]

[tex3]2a^{2}\cdot\int_0 ^\frac{\pi}{2} \frac{1-cos(4\theta)}{2}d\theta[/tex3]

Uma dica: Pode sempres conferir a resposta no wolfram.

abraços

[Vinisth]

É verdade amigo ! Arrumando temos :

[tex3]A=a^2\left[\theta-\frac{1}{4}\sen(4\theta) \right]_0 ^\frac{\pi}{2}=a^2\left[\frac{\pi}{2}-\cancelto0{\frac{1}{4}\sen\left(4\frac{\pi}{2}\right)}-0+\cancelto0{\frac{1}{4}\sen(0)} \right]_0 ^\frac{\pi}{2}=\boxed{\frac{a^2\pi}{2}}[/tex3]

Abraço !!