Física III ⇒ EFOMM - 2016 Gerador de Van Graaff Tópico resolvido

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Considere que o Gerador de Van de Graaff da figura está em funcionamento, mantendo constante o potencial elétrico de sua cúpula esférica de raio Ro metros. Quando, então é fechada a chave CH1, uma esfera condutora de raio R1 = Ro / 4 metros, inicialmente descaregada, conecta-se à cúpula por meio de fios de capacidade desprezível (também é desprezível a indução eletrostática). Atingido o equilíbrio eletrostático, a razão [tex3]\sigma_1[/tex3]/[tex3]\sigma _0[/tex3], entre as densidades superficiais de carga elétrica da esfera e a da cúpula, vale:
( a ) 4
( b ) 2
( c ) 1
( d ) 1/2
( e ) 1/4

Resposta

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4

[Planck]

Olá amandaperrea,

Inicialmente, para o equilíbrio podemos fazer:

[tex3]V_1=V_0[/tex3]

Mas, o potencial pode ser expresso por:

[tex3]V= \frac{Q}{C}[/tex3]

Podemos afirmar isso, pois as esferas vão atuar armazenando cargas, processo análogo à um capacitor. Com isso:

[tex3]\frac{Q_0}{C_0}=\frac{Q_1}{C_1}[/tex3]

Porém:

[tex3]Q=\sigma \cdot A[/tex3]

E:

[tex3]C=\frac{R}{k}[/tex3]

Portanto:

[tex3]\frac{\sigma_0 \cdot A_0}{\frac{R_0}{k}}=\frac{\sigma_1 \cdot A_1}{\frac{R_1}{k}}[/tex3]

Onde [tex3]A[/tex3] é a área de uma casca esférica. Logo:

[tex3]\frac{\sigma_0 \cdot 4 \pi \cdot R_0^2}{\frac{R_0}{k}}=\frac{\sigma_1 \cdot 4 \pi \cdot R_1^2}{\frac{R_1}{k}}[/tex3]

Após simplificações:

[tex3]\sigma_0 \cdot R_0=\sigma_1 \cdot R_1[/tex3]

[tex3]\frac{R_0}{R_1}=\frac{\sigma_1}{\sigma_0}[/tex3]

[tex3]\frac{R_0}{\frac{R_0}{4}}=\frac{\sigma_1}{\sigma_0}[/tex3]

Assim:

[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{\frac{\sigma_1}{\sigma_0}=4}}[/tex3]

Referências:
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. (2009). Fundamentos de Física: eletromagnetismo. Volume 3. [S.l.]: Editora LTC.

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Muitíssimo obrigada, Planck!!