IME / ITA ⇒ (ITA - 1995) Geometria Espacial: Prismas Tópico resolvido

[barbarahass]

Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede [tex3]3\text{ cm}[/tex3] e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume deste prisma, em centímetros cúbicos, é:

a) [tex3]27\sqrt{3}[/tex3]
b) [tex3]13\sqrt{2}[/tex3]
c) [tex3]12[/tex3]
d) [tex3]54\sqrt{3}[/tex3]
e) [tex3]17\sqrt{5}[/tex3]

Resposta:

---

d

[Natan]

Sejam [tex3]\ell[/tex3] a aresta da base do prisma e [tex3]h=3\text{ cm}[/tex3] a sua altura.

Logo,

• [tex3]S_\ell=6\ell\cdot h \text{ e } S_b=\frac{3\ell^2\sqrt{3}}{2}.[/tex3]

Além disso, sabemos que [tex3]S_\ell=2\cdot S_b.[/tex3] Então,

• [tex3]6\ell\cdot h=2\cdot \frac{3\ell^2\sqrt{3}}{2}\Longrightarrow \ell=\frac{2h}{\sqrt{3}}.[/tex3]

Portanto, o volume do prisma é

• [tex3]V=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \ell^2\cdot h= \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{4h^2}{3}\cdot h=2\sqrt{3}\cdot h^3=54\sqrt{3}\text{cm}^3.[/tex3]