Pré-Vestibular ⇒ (PUCCAMP - 1998) Função Quadrática: Máximos e Mínimos

[Natan]

Seja [tex3]R[/tex3] um retângulo que tem [tex3]24\text{ cm}[/tex3] de perímetro. Unindo-se sucessivamente os pontos médios dos lados de [tex3]R[/tex3] obtém-se um losango. Qual deve ser a medida do lado desse losango para que sua área seja máxima?

a) [tex3]3\text{ cm}[/tex3]
b) [tex3]3\sqrt{2}\text{ cm}[/tex3]
c) [tex3]6\text{ cm}[/tex3]
d) [tex3]6\sqrt{2} \text{ cm}[/tex3]
e) [tex3]9\text{ cm}[/tex3]

[Thales Gheós]

Seja [tex3]\ell[/tex3] o lado do losango.

• 

  AF14.png (4.21 KiB) Exibido 8464 vezes

Se [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são as dimensões do retângulo, vem

• [tex3]2a+2b=24\Longrightarrow b=12-a.[/tex3]

• [tex3][STUV]=\frac{a\cdot b}{2}=\frac{a\cdot (12-a)}{2}=-\frac{1}{2}(a^2-12a)=-\frac{1}{2}[(a-6)^2-36]=18-\frac{(a-6)^2}{2}.[/tex3]

A área do losango [tex3]STUV[/tex3] será máxima quando [tex3]\frac{(a-6)^2}{2}[/tex3] for mínimo, isto é, quando [tex3]a=6.[/tex3] Logo, [tex3]b=6[/tex3] e o losango é um quadrado.

• [tex3]\ell=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{ cm}.[/tex3]