Pré-Vestibular ⇒ ENCE Princípio da Contagem

[Auto Excluído (ID:20100)]

(ENCE) Determinar o número de elementos do conjunto formado por todos os números de seis algarismos distintos em que a soma do algarismo das centenas com o das unidades é 3.

Resposta

---

6300

[MateusQqMDMOD]

Oi, Amanda. Acho melhor dividir em dois casos:

[tex3]\textrm{i)}[/tex3] O algarismo das centenas é 0 ou 3, e o algarismo das unidades fica determinado.

O primeiro algarismo pode ser escolhido de 8 modos (não pode 0 nem 3); o segundo, de 7 modos (não pode ser igual ao primeiro e nem 0 ou 3); o terceiro, de 6 modos (não pode ser igual aos anteriores e nem 0 ou 3); o quarto, de 2 modos (deve ser 0 ou 3); o quinto, de 5 modos (não pode ser igual aos anteriores e nem 0 ou 3); o sexto, de 1 modo.

[tex3]\textrm{ii)}[/tex3] O algarismo das centenas é 1 ou 2, e o algarismo das unidades fica determinado.

O primeiro algarismo pode ser escolhido de 7 modos (não pode 0, 1 ou 2); o segundo, de 7 modos (não pode ser igual ao primeiro e nem 1 ou 2); o terceiro, de 6 modos (não pode ser igual aos anteriores e nem 1 ou 2); o quarto, de 2 modos (deve ser 1 ou 2); o quinto, de 5 modos (não pode ser igual aos anteriores e nem 1 ou 2); o sexto, de 1 modo.

A resposta é [tex3]8 \times 7 \times 6 \times 2 \times 5 \times 1 + 7 \times 7 \times 6 \times 2 \times 5 \times 1 = 6300[/tex3]

[LostWalker]

"Bom, eu só sei explicar isso de uma forma então vai assim"

Manos dizer que a Combinação de Número de 6 algarismos seja escrito assim:

[tex3]\underline{X}.\underline{X}.\underline{X}.\underline{X}.\underline{X}.\underline{X}[/tex3] "Foi o melhor que consegui..."


Primeiro vamos pensar em quais casos a soma da centena com a unidade é [tex3]3[/tex3]

[tex3]XXX3X0[/tex3]
[tex3]XXX2X1[/tex3]
[tex3]XXX1X2[/tex3]
[tex3]XXX0X3[/tex3]

[tex3]\color{Red}\mbox{OBS:}[/tex3] podemos separar em [tex3]2[/tex3] casos, aquele que o [tex3]\color{Red}\mbox{0}[/tex3] já apareceu e o caso em que o [tex3]\color{Red}\mbox{0}[/tex3] NÃO apareceu, agora transferindo para a ideia de Combinação, ficaria, respectivamente:

[tex3]\underline{X}.\underline{X}.\underline{X}.\underline{1}.\underline{X}.\underline{1}[/tex3]
[tex3]\underline{X}.\underline{X}.\underline{X}.\underline{1}.\underline{X}.\underline{1}[/tex3]
[tex3]\underline{X}.\underline{X}.\underline{X}.\underline{1}.\underline{X}.\underline{1}[/tex3]
[tex3]\underline{X}.\underline{X}.\underline{X}.\underline{1}.\underline{X}.\underline{1}[/tex3]


Agora, basta calcular os outros valores considerando que o algarismo não pode repetir (Retirando um algarismo sempre que um for colocado) contando da esquerda para direita


[tex3]\color{Red}\mbox{OBS:}[/tex3]

No caso em que o [tex3]0[/tex3] já foi inserido, existem [tex3]\mbox{8 possibilidades}[/tex3] já que com certeza, o [tex3]0[/tex3] não será uma delas;

No caso do [tex3]0[/tex3] ainda Não ter aparecido, o primeiro algarismo tem [tex3]\mbox{7 possibilidades}[/tex3] já que uma das [tex3]8[/tex3] algarismo restantes é o [tex3]0[/tex3] e ele não pode ser o primeiro; Após isso, o segundo também terá [tex3]\mbox{7 possibilidades}[/tex3] já que a chance do algarismo ser [tex3]0[/tex3] voltará, logo:

[tex3]\underline{8}.\underline{7}.\underline{6}.\underline{1}.\underline{5}.\underline{1}[/tex3]
[tex3]\underline{7}.\underline{7}.\underline{6}.\underline{1}.\underline{5}.\underline{1}[/tex3]
[tex3]\underline{7}.\underline{7}.\underline{6}.\underline{1}.\underline{5}.\underline{1}[/tex3]
[tex3]\underline{8}.\underline{7}.\underline{6}.\underline{1}.\underline{5}.\underline{1}[/tex3]

Igual a:

[tex3]\underline{2}.\underline{8}.\underline{7}.\underline{6}.\underline{1}.\underline{5}.\underline{1}=3\,360[/tex3]
[tex3]\underline{2}.\underline{7}.\underline{7}.\underline{6}.\underline{1}.\underline{5}.\underline{1}=2\,940[/tex3]

[tex3]3\,360+2\,940={\color{MidNightBlue}\boxed{6\,300_{}}}[/tex3]