Ensino Superior ⇒ derivada de função trigonométrica utilizando a definição Tópico resolvido

[thetruth]

f(x) = sen(x)

eu tenho muita dificuldade em fazer derivada pela definição dessas funções trigonométricas, alguém poderia me explicar essa para eu me situar melhor.

[Planck]

Olá thetruth,

Inicialmente, vamos nos atentar a definição de derivada:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex3]

Desse modo, é válido fazer que:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x+h) - \sen (x)}{h}[/tex3]

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) + \cos (x) \cdot \sen (h) - \sen (x)}{h}[/tex3]

Colocando [tex3]\sen (x)[/tex3] em evidência:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1] + \cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]

Podemos separar em:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1]}{h} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]

Multiplicando a primeira fração por [tex3][\cos (h)+1][/tex3]:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1]}{h} \cdot \frac{[\cos (h)+1]}{[\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \overbrace{[\cos (h)^2 -1^2]}^{-\sen^2 (h)}}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot\sen^2 (h)}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]

Expandindo:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot\sen (h) \cdot \sen (h)}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]

Quando [tex3]h[/tex3] tende a [tex3]0[/tex3], então:

[tex3]\frac{\sen (h)}{h}=1[/tex3]

[tex3]\sen (h)=0[/tex3]

[tex3]\cos (h)=1[/tex3]

Logo:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot \cancelto0{\sen (h)}}{[\cancelto1{\cos (h)}+1]} \cdot \cancelto1{\frac{\sen (h)}{h}}+ \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0} \cos (x) \cdot \cancelto1{\frac{ \sen (h) }{h}}[/tex3]

Portanto:

[tex3]\boxed{f(x)'=\cos(x)}[/tex3]

[thetruth]

Olá thetruth,

Inicialmente, vamos nos atentar a definição de derivada:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex3]

Desse modo, é válido fazer que:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x+h) - \sen (x)}{h}[/tex3]

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) + \cos (x) \cdot \sen (h) - \sen (x)}{h}[/tex3]

Colocando [tex3]\sen (x)[/tex3] em evidência:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1] + \cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]

Podemos separar em:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1]}{h} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]

Multiplicando a primeira fração por [tex3][\cos (h)+1][/tex3]:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1]}{h} \cdot \frac{[\cos (h)+1]}{[\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \overbrace{[\cos (h)^2 -1^2]}^{-\sen^2 (h)}}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot\sen^2 (h)}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]

Expandindo:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot\sen (h) \cdot \sen (h)}{h \cdot [\cos (h)+1]} + \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]

Quando [tex3]h[/tex3] tende a [tex3]0[/tex3], então:

[tex3]\frac{\sen (h)}{h}=1[/tex3]

[tex3]\sen (h)=0[/tex3]

[tex3]\cos (h)=1[/tex3]

Logo:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-\sen (x) \cdot \cancelto0{\sen (h)}}{[\cancelto1{\cos (h)}+1]} \cdot \cancelto1{\frac{\sen (h)}{h}}+ \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0} \cos (x) \cdot \cancelto1{\frac{ \sen (h) }{h}}[/tex3]

Portanto:

[tex3]\boxed{f(x)'=\cos(x)}[/tex3]

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot [\cos (h) -1] + \cos (x) \cdot \sen (h) }{h}[/tex3]


esse -1 é porcausa daquele -sen(x) certo?

[Planck]

Foi porque coloquei o [tex3]\sen (x) [/tex3] em evidência, note que:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) + \cos (x) \cdot \sen (h) - \sen (x)}{h}[/tex3]

É igual a:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) -\sen(x)+ \cos (x) \cdot \sen (h)}{h}[/tex3]

Nesse ponto, coloquei o [tex3]\sen(x)[/tex3] em evidência.

[thetruth]

Foi porque coloquei o [tex3]\sen (x) [/tex3] em evidência, note que:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) + \cos (x) \cdot \sen (h) - \sen (x)}{h}[/tex3]

É igual a:

[tex3]f(x)'=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sen (x) \cdot \cos (h) -\sen(x)+ \cos (x) \cdot \sen (h)}{h}[/tex3]

Nesse ponto, coloquei o [tex3]\sen(x)[/tex3] em evidência.

sim, sim.

[Planck]

O que pega nesses cálculos é lembrar dos limites e da relações trigonométricas. Além de uma boa dose de álgebra.

[thetruth]

O que pega nesses cálculos é lembrar dos limites e da relações trigonométricas. Além de uma boa dose de álgebra.

o que me quebrou nessa questão foi não sacar o [tex3]sen^{2}(x)[/tex3]