IME / ITA ⇒ (EN - 2004) Análise Combinatória e Geometria Espacial Tópico resolvido

[mvgcsdf]

O maior número de planos que podemos formar com 10 pontos distintos no espaço, dos quais 6 são coplanares é:

a) 30.
b) 31.
c) 100.
d) 101.
e) 208.

Resposta:

---

(d)

Eu achei 152 nessa questão.

[Thales Gheós]

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Estou encontrando [tex3]109:[/tex3]

os [tex3]4[/tex3] no espaço determinam entre si: [tex3]C_4^3=12[/tex3]

[tex3]2[/tex3] do espaço com [tex3]1[/tex3] do plano: [tex3]C_4^2\cdot{6}=36[/tex3]

[tex3]2[/tex3] do plano com [tex3]1[/tex3] do espaço: [tex3]C_6^2\cdot{4}=60[/tex3]

0s [tex3]6[/tex3] coplanares só determinam: [tex3]1[/tex3]

[tex3]12+36+60+1=109[/tex3]

[mvgcsdf]

Grande Thales!! Valeu mais uma vez pela força.
Sua solução está [tex3]100\%[/tex3] correta e bate com o gabarito, que é [tex3]101.[/tex3] Sabe por quê?
Porque vc só errou na conta inicial, mas o raciocínio está perfeito:

Os [tex3]4[/tex3] no espaço determinam entre si: [tex3]C_{4,3} = 4,[/tex3] não [tex3]12[/tex3] (confira!).

Vejamos:

Chamamos os pontos do espaço por [tex3]A, B, C[/tex3] e [tex3]D.[/tex3]
Os planos que eles podem determinar são: [tex3]ABC,[/tex3] [tex3]ABD,[/tex3] [tex3]BCD[/tex3] e [tex3]ABCD.[/tex3] Logo, são [tex3]4[/tex3] planos.
Fazendo por combinações, fica do jeito que vc fez, que está perfeito.
Assim, o número máximo de planos que podemos determinar com [tex3]10[/tex3] pontos do espaço, dos quais [tex3]6[/tex3] são coplanares, é:

• [tex3]4 + 36 + 60 + 1 = 101.[/tex3]

Resposta correta.
Valeu mais uma vez pela força, cara!

[Thales Gheós]

É isso mesmo! dei bobeira [tex3]C_4^3=4[/tex3]!

[marco_sx]

Olá

Pode-se fazer também pelo método destrutivo.

Escolhemos [tex3]3[/tex3] dos [tex3]10[/tex3] pontos e tiramos a combinação dos pontos coplanares, lembrando de somar no final o plano o qual pertencem os pontos coplanares.

• [tex3]C_{10,3} - C_{6,3} + 1 = 120 - 20 + 1 = 101 \text{ planos}[/tex3]

[mvgcsdf]

Grande Marcão!! Valeu pela atenção.
Aproveitando a deixa, o que vem a ser o "método destrutivo"?
Valeu!

[marco_sx]

Oi Marcos
Em exercícios de combinatória as vezes a melhor opção é contar todos os casos e depois subtrair os casos não desejados. Quando resolvemos o exercício desta forma utilizamos o método destrutivo.