Pré-Vestibular ⇒ Fatec - fatoração e equação de segundo grau

[Valdir]

Se a equação [tex3]x^2-10x+k=0[/tex3] tem uma raiz de multiplicidade 2,então o valor de k é:

a) 100
b) 25
c) 5
d) 1
e) 0


Desculpem, não tenho certeza do gabarito, mas na apostila está esse ai.

Resposta

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B

[csmarceloMOD]

Uma raiz de multiplicidade 2 significa dizer que duas raízes tem o mesmo valor. No caso de uma equação do segundo grau, é o mesmo que [tex3]\Delta=0[/tex3].

[tex3]b^2-4ac=0[/tex3]

[tex3](-10)^2-4\cdot1\cdot k=100-4k=0\therefore k=25[/tex3]

[MateusQqMDMOD]

Olá, Valdir. Uma outra forma:

Se [tex3]f(X) = X^2-10X+k=0[/tex3] possui [tex3]a[/tex3] como raiz de multiplicidade [tex3]n,[/tex3] então [tex3]f(X) = (X -a)^n.[/tex3]

Daí,

[tex3](X -a)^2 = X^2-10x+k[/tex3]

Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade, temos:

[tex3]X^2 -2aX + a^2 = X^2-10x+k[/tex3]

Da igualdade entre os polinômios:

[tex3]\begin{cases}
-2a= -10 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{a = 5} \\
a^2 = k \implies \boxed{k = 25}\\
\end{cases}[/tex3]

[MateusQqMDMOD]

A gente também pode pensar por Girard:

[tex3]\begin{cases}
x_1 + x_2 = 10 \\
x_1 \cdot x_2 = k
\end{cases} \,\,\,\,\,\, \overset{ x_1 \, = \, x_2}{\implies} \begin{cases}
2x_1 = 10 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, x_1 = 5\\
x_1 \cdot x_1 = k \,\,\, \Rightarrow \,\,\, k = 25
\end{cases} [/tex3]

[Valdir]

csmarcelo, MateusQqMD, muito obrigado, eu não conseguia interpretar dessa forma quando ele diz "tem uma raiz de multiplicidade 2".
Onde vocês tiveram contato com essa notação?
Eu vi a explicação do Mateus, ficou um pouco mais claro, mas não tanto.

[MateusQqMDMOD]

Eu vi isso em livros de polinômios. Talvez esse vídeo possa te ajudar: https://youtu.be/YtlyeyGYp5M