Pré-Vestibular ⇒ (CESCEA) Geometria Analítica: Cônicas

[ALDRINMOD]

A reta que passa pelos pontos de intersecção da parábola [tex3]y=x^2[/tex3] com a elipse [tex3]\frac{(x-2)^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1[/tex3] é:

a) [tex3]y=-x.[/tex3]
b) [tex3]y=2x+1.[/tex3]
c) [tex3]y=2x.[/tex3]
d) [tex3]y=3x.[/tex3]
e) não sei.

Resposta:

---

c

[Thales Gheós]

Os pontos de interseção da parábola e da elipse são as soluções do sistema

• [tex3]\begin{cases}\frac{(x-2)^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1\\y=x^2 \end{cases}[/tex3]

• [tex3]4\cdot (x-2)^2 +y^2=16[/tex3]
  
  [tex3]x^4+4x^2-16x=0[/tex3]
  
  [tex3]x\cdot (x^3+4x-16)=0\Longrightarrow \begin{cases}x=0\\\text{ ou }\\x^3+4x -16=0 \end{cases}[/tex3]

• [tex3]\begin{array}{rl} x^3+4x -16=0&\Longrightarrow x^3-8 +4x-8=0\\
  & \Longrightarrow (x-2)\cdot (x^2+2x+4)+4\cdot(x-2)=0 \\
  &\Longrightarrow (x-2)\cdot (x^2+2x+8)=0\\
  &\Longrightarrow x=2\text{ ou } x^2+2x+8=0
  \end{array}[/tex3]

Como [tex3]x[/tex3] é real e as raízes de [tex3]x^2+2x+8=0[/tex3] são complexas, segue que os pontos de interseção são [tex3](0,0)[/tex3] e [tex3](2,4).[/tex3]

A reta pedida é

• [tex3]y-0=\frac{4-0}{2-0}\cdot (x-0)\Longrightarrow y=2x.[/tex3]