Física I ⇒ Energia - Circunferência - Força Centrípeta - Normal - Peso Tópico resolvido

[ismaelmat]

109.249(PUC-RJ) Um corpo de massa m desce o trilho quando abandonado no ponto A, a uma altura H do solo. Sabe-se que essa altura é a mínima para que o corpo complete a volta, e que todos os atritos são desprezíveis. Sendo T o raio da circunferência, e o corpo permanecendo nos trilhos, podemos afirmar que:

a) a altura H é igual a 2R

b) a força que o trilho exerce sobre o corpo quando este passa pelo ponto E é igual ao peso P.

c) a força que o trilho exerce sobre o corpo no ponto D é máxima.

d) a velocidade do corpo, ao passar por B, é gH.

e) a velocidade do corpo, ao atingir o ponto C, é igual a [tex3]\sqrt{3gR}[/tex3]

Por favor galera, quem for fazer faça item por item, pois essa questão é muito interessante e completa e eu estou com bastante dúvida de relacionar a força centrípeta com a força normal!

Gabarito :

Resposta

---

e

[Planck]

Olá ismaelmat,

Essa é uma questão excelente! Para sabermos se [tex3]H[/tex3] é igual a [tex3]2R[/tex3], nós podemos utilizar a conservação da energia:

[tex3]m \cdot g \cdot H = \frac{m \cdot v^2}{ 2} + m \cdot g \cdot 2R[/tex3]

Para completar o looping, a velocidade mínima deve ser:

[tex3]v= \sqrt{R \cdot g}[/tex3]

Pois, no ponto [tex3]D[/tex3], temos:

[tex3]F_{cp}=F_P[/tex3], pois [tex3]F_N [/tex3] tende a ser zero, na iminência do móvel se soltar. Logo:

[tex3]\frac{m \cdot v^2}{R} = m \cdot g[/tex3]

De onde obtemos:

[tex3]v= \sqrt{R \cdot g}[/tex3]

Portanto, na conservação da energia:

[tex3]m \cdot g \cdot H = \frac{m \cdot v^2}{ 2} + m \cdot g \cdot 2R[/tex3]

[tex3]g \cdot H = \frac{ (\sqrt{R \cdot g})^2}{ 2} + g \cdot 2R[/tex3]

[tex3]g \cdot H = \frac{R \cdot g}{ 2} + g \cdot 2R[/tex3]

[tex3]\boxed{ H = \frac{R }{ 2} + 2R}[/tex3]

A primeira afirmação é, portanto, falsa. No ponto [tex3]E[/tex3], temos a seguinte configuração de forças:

geogebra-export (24).png (54.83 KiB) Exibido 1259 vezes

Isso nos mostra que a força que o trilho exerce sobre o corpo não é igual ao peso, e sim, igual a uma de suas componentes.

A força em [tex3]D[/tex3] é mínima pelo que detalhamos no item [tex3]a)[/tex3]:

[tex3]F_{cp}=F_N + F_P[/tex3]

Como [tex3]F_N[/tex3] tende [tex3]0[/tex3], ficamos somente com:

[tex3]F_{cp}= F_P[/tex3]

A força será máxima em [tex3]B[/tex3], pois, [tex3]F_N[/tex3] não tende a zero. Em [tex3]B[/tex3], a velocidade será dada pela conservação da energia:

[tex3]m \cdot g \cdot H = \frac{m \cdot v^2}{2}[/tex3]

Portanto, a velocidade no ponto [tex3]B[/tex3] será dada por:

[tex3]\boxed{v = \sqrt{ 2 \cdot g \cdot H}}[/tex3]

Ao que parece, o ponto [tex3]C[/tex3] está na altura de [tex3]R[/tex3]. Nesse sentido, podemos aplicar novamente a conservação da energia:

[tex3]m \cdot g \cdot H = \frac{m \cdot v^2}{2} + m \cdot g \cdot R[/tex3]

Do item [tex3]a)[/tex3], temos que:

[tex3]H = \frac{R }{ 2} + 2R[/tex3]

Logo:

[tex3]m \cdot g \cdot \left ( \frac{R }{ 2} + 2R\right) = \frac{m \cdot v^2}{2} + m \cdot g \cdot R[/tex3]

Cancelando [tex3]m[/tex3] em todos os termos:

[tex3]g \cdot \left ( \frac{R }{ 2} + 2R\right) = \frac{ v^2}{2} + g \cdot R[/tex3]

Multiplicando todos os termos por [tex3]2[/tex3]:

[tex3]2 \cdot g \cdot \left ( \frac{R }{ 2} + 2R\right) = v^2+ 2 \cdot g \cdot R[/tex3]

Isolando [tex3]v[/tex3]:

[tex3]2 \cdot g \cdot \left ( \frac{R }{ 2} + 2R\right) - 2 \cdot g \cdot R= v^2[/tex3]

Colocando [tex3]2 \cdot g[/tex3] em evidência:

[tex3]2 \cdot g \cdot \left ( \frac{R }{ 2} + 2R- R \right) = v^2[/tex3]

[tex3]2 \cdot g \cdot \left ( \frac{R }{ 2} + R \right) = v^2[/tex3]

[tex3]2 \cdot g \cdot \left ( \frac{R +2R}{ 2} \right) = v^2[/tex3]

[tex3]2 \cdot g \cdot \left ( \frac{3R}{ 2} \right) = v^2[/tex3]

Disso tiramos que, a velocidade no ponto [tex3]C[/tex3] é:

[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{v=\sqrt {g \cdot 3R}}}[/tex3]