Ensino Médio ⇒ Linhas proporcionais, IME/ITA nível 2 Tópico resolvido

[lookez]

Os segmentos PA e PB são tangentes à um círculo nos pontos A e B, e Q é um ponto qualquer sobre a circunferência. Se as distâncias de Q às retas PA e PB são 4 e 9 respectivamente, quanto vale a distância de Q a AB?

Resposta

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6

OBS: Gabarito talvez esteja errado

[jvmago]

Por teorema seja PA e PB dois segmentos tangentes a uma circunferência e M um ponto na circunferência compreendido no arco menor AB, verifica-se
[tex3]MH^2=MN*MQ[/tex3]

Onde MH é a distância de M até AB, MN a distância até PA e MQ a distância até PB. Portanto

[tex3]x^2=4*9[/tex3]
x=6

[tex3]PIMBADA[/tex3]

[lookez]

Olá, que teorema seria esse? e se alguém puder, eu gostaria de ver uma solução utilizando semelhança de triângulos ou razão entre segmentos, pois essa é a proposta do módulo deste exercício. Obrigado!

[jvmago]

Dont worry deixa só eu acabar de comer e mando a demonstração

[jvmago]

IMG_20190510_102521155.jpg (43.17 KiB) Exibido 1720 vezes

[jvmago]

é uma demonstração bem simples observe, trace os segmentos [tex3]AQ[/tex3] e [tex3]QB[/tex3].

Chamando o angulo [tex3]MaQ=\theta[/tex3] observamos pelo angulo inscrito que [tex3]MbA=\theta[/tex3]

De maneira análoga ao angulo [tex3]QmA=\alpha[/tex3] vemos com facilidade que [tex3]QbN=\alpha[/tex3] AGORA ACABOU pois

[tex3]\Delta AHQ[/tex3] ~ [tex3]\Delta QNB[/tex3] e [tex3]\Delta QHB[/tex3] ~ [tex3]\Delta MAQ[/tex3]

Pela primeira semelhança
[tex3]\frac{x}{QN}=\frac{AQ}{QB}[/tex3]

Pela segunda semelhança
[tex3]\frac{x}{MQ}=\frac{BQ}{AQ}[/tex3]

Usando a primeira na segunda

[tex3]\frac{x}{a}=\frac{b}{x}[/tex3]
[tex3]x=\sqrt{ab}[/tex3]

[tex3]PIMBADAproved[/tex3]