Pré-Vestibular ⇒ (UEM - PR) Determinantes e matrizes Tópico resolvido

[Jhonatan]

UEM - PR

Sobre matrizes e determinantes, assinale a(s) alternativa(s) correta(s).

01. Se o determinante de uma matriz quadrada A é 10 e se a segunda linha for multiplicada por 4 e a quinta linha por 1/2, então o determinante da matriz resultante é 20.

02. Uma matriz quadrada A de ordem 3 é tal que seus elementos aij + aji = 0, para todo 1≤i, j≤3. Então, det(A) ≠ 0.

04. Se uma matriz quadrada A de ordem n tem determinante satisfazendo a equação det(A²) + 2det(A) + 1 = 4, então o det(A) é igual a 1 ou -3.

08. Se A é a matriz dada por (foto abaixo), então o único valor de k que torna o determinante de A² nulo é zero.

16. A equação matricial X^t.A.X = [3], onde A é a matriz dada por (foto abaixo), tem como solução o conjunto das matrizes X(2x1) = (foto abaixo), tais que x² + y² = 1.

32. Se A = B.C, onde B = (foto abaixo) e C = (foto abaixo), então o determinante de A é igual a - 4.

Some os números dos itens corretos.

Resposta

---

R: 53 (1 + 4 + 16 + 32).

Pessoal, minhas dúvidas estão apenas nos itens 02 e 16. Alguém poderia ajudar nesses itens, por favor ? Suponho que o restante das alternativas eu saiba fazer. Alguém poderia mostrar o porquê de a alternativa 02 ser falsa e a 16 ser correta ?

Obrigado.

[Planck]

Olá Jhonatan,

Primeiramente, vamos analisar o primeiro item:

02. Uma matriz quadrada A de ordem [tex3]3[/tex3] é tal que seus elementos [tex3]a_{ij} + a_{ji} = 0[/tex3], para todo [tex3]1≤i, \,j≤3[/tex3]. Então, [tex3]\det(A) ≠ 0[/tex3].

Uma matriz quadrada ordem de [tex3]3[/tex3] é da seguinte forma:

[tex3]\left [ \begin{array}{ccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}
\end {array}\right] [/tex3]

Vamos tentar contradizer a afirmação. A matriz pode ser da forma:

[tex3]\left [ \begin{array}{ccc}
a_{1,1} & 0 & 0 \\
0 & a_{2,2} & 0 \\
0 & 0 & a_{3,3}
\end {array}\right] [/tex3]

Se, algum elemento da diagonal principal for [tex3]0[/tex3], o determinante dessa matriz é nulo. Logo, a afirmação é falsa.

16. A equação matricial [tex3]X^t \cdot A \cdot X = [3][/tex3], onde [tex3]A[/tex3] é a matriz dada por [tex3]\left [ \begin{array}{ccc}
3 & 4 \\
-4 & 3 \\
\end {array}\right] [/tex3], tem como solução o conjunto das matrizes [tex3]X_{2 \times1} = \left [ \begin{array}{ccc}
x \\
y \\
\end {array}\right] [/tex3], tais que [tex3]x^2 + y^2 = 1[/tex3].

Temos a seguinte equação matricial:

[tex3]X^t \cdot \left [ \begin{array}{ccc}
3 & 4 \\
-4 & 3 \\
\end {array}\right] \cdot X = [3][/tex3]

Podemos dizer que:

[tex3]\underbrace{\left \{{X^t} \cdot \left [ \begin{array}{ccc}
3 & 4 \\
-4 & 3 \\
\end {array}\right] \right \}}_K \cdot X = [3][/tex3]

[tex3]K \cdot X = [3][/tex3]

Para isso:

[tex3]K_{m \times p} \cdot X_{p \times n} = [3]_{m \times n}[/tex3]

Ou seja:

[tex3]n =1[/tex3]

[tex3]m=1[/tex3]

Com isso:

[tex3]K_{1 \times p} \cdot X_{p \times 1} = [3]_{1 \times 1}[/tex3]

Para isso, faz se necessário que:

[tex3]{X^t}_{m \times p} \cdot \left [ \begin{array}{ccc}
3 & 4 \\
-4 & 3 \\
\end {array}\right]_{p \times n} = K _{m \times p}[/tex3]

Mas, já sabemos que:

[tex3]K_{1 \times p}[/tex3]

Ou seja:

[tex3]m=1[/tex3]

E, assim:

[tex3]{X^t}_{1 \times p} \cdot \left [ \begin{array}{ccc}
3 & 4 \\
-4 & 3 \\
\end {array}\right]_{p \times n} = K _{1 \times p}[/tex3]

Mas, é notável que:

[tex3]p \times n = 2 \times 2[/tex3]

Desse modo:

[tex3]{X^t}_{1 \times 2} \cdot \left [ \begin{array}{ccc}
3 & 4 \\
-4 & 3 \\
\end {array}\right]_{2 \times 2} = K _{1 \times 2}[/tex3]

Consequentemente:

[tex3]X_{p \times 1}= X_{2 \times 1}[/tex3]

E obtemos:

[tex3]{X^t}_{1 \times 2} \cdot \left [ \begin{array}{ccc}
3 & 4 \\
-4 & 3 \\
\end {array}\right] \cdot X_{2 \times 1} = [3][/tex3]

[tex3]\left [ \begin{array}{ccc}
x & y \\
\end {array}\right] \cdot \left [ \begin{array}{ccc}
3 & 4 \\
-4 & 3 \\
\end {array}\right] \left [ \begin{array}{ccc}
x \\
y \\
\end {array}\right] = [3][/tex3]

Efetuando a primeira multiplicação:

[tex3]\left [ \begin{array}{ccc}
3 \cdot x + (-4) \cdot y & 4 \cdot x + 3 \cdot y \\
\end {array}\right] \left [ \begin{array}{ccc}
x \\
y \\
\end {array}\right] = [3][/tex3]

[tex3]\left [ \begin{array}{ccc}
3 \cdot x -4 \cdot y & 4 \cdot x + 3 \cdot y \\
\end {array}\right] \left [ \begin{array}{ccc}
x \\
y \\
\end {array}\right] = [3][/tex3]

Efetuando a segunda multiplicação:

[tex3]\left [ \begin{array}{ccc}
(3 \cdot x -4\cdot y) & (4 \cdot x + 3 \cdot y) \\
\end {array}\right] \left [ \begin{array}{ccc}
x \\
y \\
\end {array}\right] = [3][/tex3]

[tex3]\left [ \begin{array}{ccc}
(3 \cdot x -4\cdot y) \cdot x + (4 \cdot x + 3 \cdot y) \cdot y \\
\end {array}\right]
= [3][/tex3]

[tex3]
3 \cdot x^2 \cancel{-4\cdot y x}+ \cancel{4 \cdot x y}+ 3 \cdot y^2 \cdot y
= 3[/tex3]

[tex3]3\cdot x^2 + 3 \cdot y^2 =3[/tex3]

Diante disso, obtemos:

[tex3]\boxed{x^2 + y^2 =1}[/tex3]

[Jhonatan]

Excelente, amigo Planck. Pegarei agora para estudar suas resoluções, como sempre, muito bem detalhadas.
Muito obrigado. Caso haja dúvidas, lhe pergunto.

[Jhonatan]

Amigo Planck, poderia resolver o item 08, por favor ? Eu cheguei em k^4 + 4k³ + 4k² = 0. Daí, fiz k(k³ + 4k² + 4k) = 0, assim, k = 0 e k³ + 4k² + k = 0.
Seria isso ? E, no caso, qual seria o outro valor além do 0 que anula o det(A)^2 ? Eu substituí -2 e zerou, é isso ?

[Planck]

Amigo Planck, poderia resolver o item 08, por favor ? Eu cheguei em k^4 + 4k³ + 4k² = 0. Daí, fiz k(k³ + 4k² + 4k) = 0, assim, k = 0 e k³ + 4k² + k = 0.
Seria isso ? E, no caso, qual seria o outro valor além do 0 que anula o det(A)^2 ? Eu substituí -2 e zerou, é isso ?

Posso sim!

08. Se [tex3]A[/tex3] é a matriz dada por [tex3]\left [\begin {array} {cccccc} k & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ k & 0 & k \end {array} \right ][/tex3], então o único valor de [tex3]k[/tex3] que torna o determinante de [tex3]A^2[/tex3] nulo é zero.

Primeiramente, uma propriedade dos determinantes diz que:

[tex3]\det A^n = (\det A)^n[/tex3]

Desse modo:

[tex3]\det A = \left |\begin {array} {cccccc} k & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ k & 0 & k \end {array} \right |[/tex3]

[tex3]\det A = (k^2 +2 \cdot k+ 0)-(-k +k +0)[/tex3]

[tex3]\det A = k^2 +2 \cdot k[/tex3]

Portanto, para o que foi pedido:

[tex3]\det A^2 = (\det A)^2 \Leftrightarrow (\det A)^2 = 0[/tex3]

Logo:

[tex3](k^2 + 2\cdot k)^2 =0 [/tex3]

A unica forma da expressão ser zero, é o que está dentro do parentese ser zero. Desse modo:

[tex3]k^2 + 2\cdot k =0[/tex3]

Após fatorar a expressão:

[tex3]k \cdot (k+2)=0[/tex3]

Com isso, determinamos o seguinte conjunto solução:

[tex3]S = \{0, \; -2 \}[/tex3]

Seu raciocínio também está correto, afinal, o valor que você substitui também é raiz. Em um contexto de prova, se tivesse substituído e percebido que, além do zero, há outro valor que anula o determinante, já poderia considerar o item falso. Isso é possível porque o item afirma (incorretamente, como descobrimos) que há um único valor que torna o determinante nulo.