IME / ITA ⇒ (ITA - 1994) Equações Polinomiais Tópico resolvido

[barbarahass]

As raízes da equação de coeficientes reais [tex3]x^3+ax^2+bx+c=0[/tex3] são inteiros positivos consecutivos. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a [tex3]14.[/tex3] Então [tex3]a^2+b^2+c^2[/tex3] é igual a:

a) [tex3]190[/tex3]
b) [tex3]191[/tex3]
c) [tex3]192[/tex3]
d) [tex3]193[/tex3]
e) [tex3]194[/tex3]

Resposta:

---

d

[jgpret]

Sejam [tex3]k,\,k+1\text{ e }k+2[/tex3] as raízes da equação, com [tex3]k\in\mathbb{Z}_+^*.[/tex3]

• [tex3]k^2+(k+1)^2+(k+2)^2=14\Longrightarrow k^2+k^2+2k+1+k^2+4k+4=14\Longrightarrow 3k^2+6k-9=0\Longrightarrow k=1.[/tex3]

Assim, as raízes são [tex3]1,2 \text{ e } 3.[/tex3]

• [tex3]x^3+ax^2+bx+c=(x-1)(x-2)(x-3) =x^3-6x^2+11x-6=0\Longrightarrow \begin{cases}a=-6\\b=11\\c=-6 \end{cases}[/tex3]

Portanto,

• [tex3]a^2=b^2+c^2=36+121+36=193.[/tex3]

Resposta: (d).