Ensino Superior ⇒ EDO não exatas Tópico resolvido

[yanncesar]

Verifique se a EDO's seguintes são exatas, quando não forem, encontre um um fator integrante que as torne exata.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

[tex3]y'=\frac{xy^2-y}{x}[/tex3]

[tex3]y'+\frac{y}{x}=y^2[/tex3] → trata-se de uma EDO de Bernoulli.

Então;

[tex3]v = y^{1-2}[/tex3]

[tex3]v = y^{-1}[/tex3]

[tex3]v = -1.y^{-2}.y'[/tex3]

[tex3]y' = -v'.y^{2}[/tex3]


Substituindo na EDO de Bernoulli, vem;

[tex3]-v'y^2+\frac{y}{x}=y^2[/tex3] → ÷ ( - y² )

[tex3]v'-\frac{1}{xy}=-1[/tex3]

[tex3]v'-\frac{1}{x}.\frac{1}{y}=-1[/tex3]


Como v = [tex3]\frac{1}{y}[/tex3] , fica;


[tex3]v'-\frac{1}{x}.v=-1[/tex3]

Comparando com v' + P(x).v = Q(x), temos;

P(x) = - 1/x e Q(x) = - 1

Calculando o "fator integrante" , vem;

[tex3]\mu (x)=e^{\int\limits_{}^{}P(x)dx}[/tex3]

[tex3]\mu (x)=e^{-\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx}[/tex3]

[tex3]\mu (x)=e^{-ln(x)}=e^{ln(x^{-1})}=x^{-1}[/tex3]

[tex3]\mu (x)=\frac{1}{x}[/tex3]

Assim,

[tex3]v=\frac{1}{\mu (x)}.[\int\limits_{}^{}
\mu (x).Q(x) \ dx][/tex3]

[tex3]v=x.[-\int\limits_{}^{}
\frac{1}{x}.1 \ dx][/tex3]

v = - x.ln (x) + xc

Como v = 1/y → y = 1/v, portanto;

[tex3]y=\frac{1}{x.[c-ln(x)]}[/tex3]




Nota

Se você colocar na forma:

( xy² - y )dx - xdy = 0

E calcular as derivadas parciais em relação a y e em relação a x , encontramos:

[tex3]\frac{\partial M}{\partial y}=2xy-1[/tex3]

e

[tex3]\frac{\partial N}{\partial x}=-1[/tex3]


Vemos que a EDO dada não é exata, pois [tex3]\frac{\partial M}{\partial y}≠\frac{\partial N}{\partial x}[/tex3], o problema é na hora de encontrar o fator integrante por esse caminho aí, não é possível colocar nenhum dos termos em função de uma só variável ( nem em função só de "y" e nem de "x").

A idéia era usar:

[tex3]\frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=g(x)[/tex3]

→ [tex3]\mu (x)=e^{\int\limits_{}^{}g(x)dx}[/tex3]

Ou

[tex3]\frac{1}{M}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=h(y)[/tex3]

→ [tex3]\mu (y)=e^{\int\limits_{}^{}h(y)dy}[/tex3]

O problema que nenhuma das duas maneiras dão certo


Eu me lembro de ter visto outro método de resolver ( encontrar o fator integrante ) esse tipo de questão , porém não me recordo onde, acho que foi nos meus arquivos, se eu encontrar eu posto aqui, o problema que eu ando com o tempo muito corrido.


Bons estudos!