Física I ⇒ (Farias Brito) Movimento relativo Tópico resolvido

[Gu178]

Um piloto deseja voar para Leste, de A até B e, em seguida voar para Oeste, retornando a A. A velocidade do ar em relação ao solo é u. A distância entre A e B é l, e a A velocidade do avião no ar é V', e constante.

A) Se u=0 (ar parado), mostre que o tempo para a viagem de ida e volta é [tex3]t_{o}=\frac{2l}{V}[/tex3]

B) Suponha que a velocidade do vento esteja dirigida para o Leste (ou para o Oeste). Mostre que o tempo de ida e volta será [tex3]t_{e}=\frac{t_{o}}{1-\frac{u^2}{V^2}}[/tex3]

C) Suponha que a velocidade do vento esteja dirigida para o Norte (ou para o Sul). Mostre então que o tempo de ida e volta será [tex3]t_{n}=\frac{t_{o}}{\sqrt{1-\frac{n^2}{V^2}}}[/tex3]

[miltonsermoud]

Boa noite. Alguém consegue fazer essa, por gentileza?
Obrigado!

[Planck]

Olá Gu178 e miltonsermoud,

Primeiramente, para a primeira situação, temos que:

[tex3]t_{ida} = \frac{l}{V}[/tex3]

[tex3]t_{volta} = \frac{l}{V}[/tex3]

Desse modo, o tempo total é dado por:

[tex3]\boxed{t_{1} = \frac{l}{V} + \frac{l}{V} \Rightarrow \frac{2 \cdot l}{V} }[/tex3]

Na segunda situação, temos que:

[tex3]t_{ida} = \frac{l}{V+ u}[/tex3]

[tex3]t_{volta} = \frac{l}{V-u}[/tex3]

[tex3]t_{2} = \frac{l}{V + u} + \frac{l}{V - u} [/tex3]

[tex3]t_{2} = \frac{l \cdot (V-u) + l \cdot ( V+ u)}{V^2 - u^2} [/tex3]

[tex3]t_{2} = \frac{l \cdot V{\color{red}\cancel{{\color{black}- l \cdot u}}} + l \cdot V{\color{red}\cancel{{\color{black}+ l \cdot u}}} }{V^2 - u^2} [/tex3]

[tex3]t_{2} = \frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2 - u^2}[/tex3]

Mas:

[tex3]t_1 = \frac{2 \cdot l}{V}[/tex3]

Multiplicando o numerador e o denominador por [tex3]V[/tex3]:

[tex3]t_1 = \frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}[/tex3]

E, dividindo o numerado e o denominador por [tex3]V^2[/tex3]:

[tex3]t_{2} = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{\frac{V^2 - u^2}{V^2}}[/tex3]

[tex3]t_{2} = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{1 - \frac{u^2}{V^2}}[/tex3]

[tex3]\boxed{t_{2} = \frac{t_1}{1 - \frac{u^2}{V^2}}}[/tex3]

Para terceira situação, temos que:

Na ida:

geogebra-export (43).png (37.31 KiB) Exibido 1031 vezes

Na volta:

geogebra-export (44).png (36.85 KiB) Exibido 1031 vezes

Desse modo:

[tex3]t_{ida} = \frac{l}{V}[/tex3]

Mas:

[tex3]V^2 + u^2 = w^2[/tex3]

[tex3]V = \sqrt{w^2 - u^2}[/tex3]

Portanto:

[tex3]t_{ida} = \frac{l}{\sqrt{w^2 - u^2}}[/tex3]

Para a volta, teremos:

[tex3]t_{volta} = \frac{l}{V}[/tex3]

[tex3]V^2 + u^2 = w^2[/tex3]

[tex3]V^2 = w^2-u^2[/tex3]

[tex3]V = \sqrt { w^2 - u^2}[/tex3]

Assim:

[tex3]t_{volta} = \frac{l}{\sqrt {w^2 - u^2}}[/tex3]

Com isso:

[tex3]t_3 =\frac{l}{\sqrt{w^2 - u^2}} + \frac{l}{\sqrt {w^2 - u^2}} [/tex3]

[tex3]t_3 = \frac{2 \cdot l}{\sqrt{w^2 - u^2}}[/tex3]

[tex3]t_3 = \frac{2 \cdot l}{\sqrt{w^2 - u^2}} \cdot \frac{V}{V}[/tex3]

[tex3]t_3 = \frac{2 \cdot l \cdot V}{V \cdot \sqrt{w^2 - u^2}}[/tex3]

[tex3]t_3 = \frac{2 \cdot l \cdot V}{ \sqrt{V^2\cdot (w^2 - u^2)}}[/tex3]

[tex3]t_3 = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{ \frac{\sqrt{V^2\cdot (w^2 - u^2)}}{V^2}}[/tex3]

[tex3]t_3 = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{ \frac{\sqrt{V^2\cdot (w^2 - u^2)}}{\sqrt{V^4}}}[/tex3]

[tex3]t_3 = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{ \sqrt{\frac{{V^2\cdot (w^2 - u^2)}}{{V^4}}}}[/tex3]

[tex3]t_3 = \frac{\frac{2 \cdot l \cdot V}{V^2}}{ \sqrt{\frac{{ (w^2 - u^2)}}{{V^2}}}}[/tex3]

[tex3]\boxed{t_3 = \frac{t_0}{ \sqrt{\frac{{ (w^2 - u^2)}}{{V^2}}}}}[/tex3]

Na última, não consegui chegar na mesma relação do gabarito. Devo ter cometido algum equívoco quanto aos vetores.

[miltonsermoud]

Perfeito! Obrigado, Planck!