Ensino Superior ⇒ retangulo inscrito no triangulo area maxima Tópico resolvido

[priscilasp]

um retangulo esta inscrito num triangulo isosceles com um lado coincidindo com a base do triangulo. Se a base do triangulo é de 10 cm e a altura 8cm. determinar a maior area possivel para o retangulo

[VALDECIRTOZZI]

Consideremos a figura:

Triângulo inscrito_1.jpg (15.05 KiB) Exibido 23382 vezes

A área do retângulo DEFG é dada por:
[tex3]A= x \cdot y[/tex3] (I)

Note que os triângulos ABC e DEC são semelhantes. Estabelecendo as relações de semelhança temos:
[tex3]\frac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\frac{\overline{AH}}{\overline{AI}}[/tex3]
[tex3]\frac{10}{x}=\frac{8}{8-y}[/tex3]
[tex3]8x=80-10y[/tex3]
[tex3]y=\frac{8x-80}{-10}=\frac{-4x+40}{5}[/tex3] (II)

Substituindo II em I:
[tex3]A=x\cdot y[/tex3]
[tex3]A=x \cdot \left(\frac{-4x+40}{5}\right)[/tex3]
[tex3]A=\frac{-4x^2+40x}{5}=-\frac{4x^2}{5}+8x[/tex3]

Sabemos que para a função acima ter o maior valor possível [tex3]x_{max}[/tex3] deve ser dado por:
[tex3]x_{max}=-\frac{b}{2a}[/tex3]
[tex3]x_{max}=-\frac{8}{2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)}=5[/tex3]

Portanto:
[tex3]A=-\frac{4x^2}{5}+8x[/tex3]
[tex3]A=\frac{4 \cdot 5^2}{5}+8 \cdot 5=60 \ cm^2[/tex3]

Espero ter ajudado!

[profclei]

Consideremos a figura:
Triângulo inscrito_1.jpg

A área do retângulo DEFG é dada por:
[tex3]A= x \cdot y[/tex3] (I)

Note que os triângulos ABC e DEC são semelhantes. Estabelecendo as relações de semelhança temos:
[tex3]\frac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\frac{\overline{AH}}{\overline{AI}}[/tex3]
[tex3]\frac{10}{x}=\frac{8}{8-y}[/tex3]
[tex3]8x=80-10y[/tex3]
[tex3]y=\frac{8x-80}{-10}=\frac{-4x+40}{5}[/tex3] (II)

Substituindo II em I:
[tex3]A=x\cdot y[/tex3]
[tex3]A=x \cdot \left(\frac{-4x+40}{5}\right)[/tex3]
[tex3]A=\frac{-4x^2+40x}{5}=-\frac{4x^2}{5}+8x[/tex3]

Sabemos que para a função acima ter o maior valor possível [tex3]x_{max}[/tex3] deve ser dado por:
[tex3]x_{max}=-\frac{b}{2a}[/tex3]
[tex3]x_{max}=-\frac{8}{2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)}=5[/tex3]

Portanto:
[tex3]A=-\frac{4x^2}{5}+8x[/tex3]
[tex3]A=\frac{4 \cdot 5^2}{5}+8 \cdot 5=60 \ cm^2[/tex3]

Espero ter ajudado!

correção
[tex3]A=-\frac{4x^2}{5}+8x[/tex3]
[tex3]A=-\frac{4 \cdot 5^2}{5}+8 \cdot 5=20 \ cm^2[/tex3]