Ensino Fundamental ⇒ Triângulo Equiláteros

[botelho]

Em um mesmo lado de uma reta traçam-se triângulos equiláteros ABC e CDE;AB [tex3]\neq [/tex3] CD.Se (AB)^2+(DE)^2=m e (BC).(CD)=n.Calcule a distância entre os pontos médios de AB e DE.
a)[tex3]\sqrt{m+n}[/tex3]
b)[tex3]\frac{\sqrt{3(m+n)}}{2}[/tex3]
c)2 [tex3]\sqrt{m+n}[/tex3]
d)3 [tex3]\sqrt{m+n}[/tex3]
e)[tex3]\sqrt{3(m+n)}[/tex3]

Resposta

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b

[Ittalo25MOD]

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Por Pitágoras:

[tex3]BC^2 = XC^2+XB^2 \rightarrow XC^2 = \frac{3BC^2}{4} [/tex3]
[tex3]DC^2 = YC^2+YD^2 \rightarrow YC^2 = \frac{3DC^2}{4} [/tex3]

Lei dos cossenos:

[tex3]XY^2 = XC^2+YC^2- 2\cdot XC \cdot YC \cdot cos(120^o) [/tex3]
[tex3]XY^2 = XC^2+YC^2- 2\cdot \sqrt{XC^2 \cdot YC^2} \cdot cos(120^o) [/tex3]
[tex3]XY^2 =\frac{3DC^2}{4} + \frac{3BC^2}{4}+ \sqrt{ \frac{3BC^2}{4}\cdot \frac{3DC^2}{4} } [/tex3]
[tex3]XY^2 = \frac{3m}{4}+ \sqrt{ \frac{9n^2}{16} } [/tex3]
[tex3]XY^2 = \frac{3m}{4}+ \frac{3n}{4} [/tex3]
[tex3]\boxed {XY = \frac{\sqrt{3m+3n}}{2} } [/tex3]