Olimpíadas ⇒ (OMIF) Número Reais

[Professor]

Três números reais não nulos e diferentes de um, a, b e c, são tais que:
[tex3]a^b=c[/tex3]
[tex3]c^a=b[/tex3]
[tex3]b^c=a[/tex3]
Então, o produto [tex3]a \cdot b \cdot c[/tex3]

A) é o elemento neutro da multiplicação
B) é o elemento neutro da adição
C) é um número primo
D) é simétrico do único número par primo
E) é um número irracional

[erihh3]

[tex3]a^b=c[/tex3]

Como a=b^c, tem-se:

[tex3](b^c)^b=c[/tex3]
[tex3]b^{bc}=c[/tex3]

Elevando a "a"

[tex3](b^{bc})^a=c^a[/tex3]
[tex3]b^{abc}=c^a[/tex3]

Aplicando log na base 10

[tex3]abc.\log(b)=\log\(c^a\)[/tex3]

Como [tex3]c^a=b[/tex3], tem-se:

[tex3]abc.\log(b)=\log\(b\)[/tex3]

[tex3]abc.\log(b)-\log\(b\)=0[/tex3]

[tex3](abc-1)\log(b)=0[/tex3]

Daí, [tex3]abc=1[/tex3] ou [tex3]\log(b)=0[/tex3]

Como foi dito no enunciado que [tex3]a,b,c\neq 1[/tex3], a única resposta possível é [tex3]abc=1[/tex3].

Com isso, abc é o elemento neutro da multiplicação.

Letra A