IME / ITA ⇒ (EEAR - 1990) Geometria Plana: Área do Círculo e Suas Partes Tópico resolvido

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Na figura dada, o círculo maior tem centro [tex3]A[/tex3] e raio [tex3]10\text{ cm;}[/tex3] o triângulo [tex3]ABC[/tex3] é retângulo, e o círculo menor tem centro no ponto médio da hipotenusa [tex3]BC.[/tex3] A área da parte hachurada, em [tex3]\text{ cm}^2,[/tex3] mede:

a) [tex3]25.[/tex3]
b) [tex3]25\pi.[/tex3]
c) [tex3]50.[/tex3]
d) [tex3]50\pi.[/tex3]

[fabit]

Primeiramente, [tex3]BC=10\sqrt{2}[/tex3] e portanto o raio menor é [tex3]r=5\sqrt{2}.[/tex3]

O semicírculo (do círculo menor, é claro) que inclui a área hachurada pode ser calculado de duas formas:

a) somando a regiâo hachurada (que doravante chamo de [tex3]x[/tex3]) com um segmento circular do círculo maior; ou
b) simplesmente calculando metade da área do círculo menor.

Vamos comparar:

a) O segmento é o setor circular de ângulo central [tex3]B\hat{A}C,[/tex3] descontado o triângulo [tex3]ABC.[/tex3] A soma fica:

• [tex3]x+\frac{\pi10^2}{4}-\frac{10^2}{2}=x+25\pi-50[/tex3]

b) Essa é a parte fácil:

• [tex3]\frac{\pi r^2}{2}=25\pi[/tex3]

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• [tex3]x+\cancel{25\pi}-50=\cancel{25\pi}\Longrightarrow x=50\text{ cm}^2.[/tex3]

Letra (c).