Física I ⇒ Aceleração Centrípeta e Força Resultante Centrípeta

[eumarccoss]

Pessoal, nunca entendi qual a diferença entre Aceleração Centrípeta e Força Resultante Centrípeta. Alguém poderia explicar por favor? Obrigado

[MateusQqMDMOD]

Oi, Marcos!

Em movimentos circulares, a componente centrípeta da aceleração é a aceleração que aponta para o lado para onde o móvel se curva. Lembre-se que há uma componente tangencial da aceleração, que juntamente com a componente centrípeta gera uma aceleração "a" resultante:

Aceleração Centrípeta e Força Resultante Centrípeta (3).png (20.06 KiB) Exibido 2322 vezes

Quanto maior a aceleração centrípeta, menor será a curva realizada pelo móvel (curva fechada). Enquanto que uma pequena aceleração centrípeta promove um raio de curvatura maior, isto é, gera uma curva mais aberta. Daí, concluímos que movimentos retilíneos possuem componente centrípeta nula.

A relação entre o módulo da aceleração centrípeta e o raio da trajetória é dado por: [tex3]\text{a}_{\text{ctp}} = \frac{ |\text{v} |^2}{\text{R} }[/tex3]

Em trajetórias circulares, há forças quaisquer atuando na direção radial: tração, peso, normal, força de atrito, força elástica, etc. Mas não existe uma força chamada de centrípeta. Há, na verdade, uma resultante centrípeta que é gerada a partir da interação de todas as forças que agem na direção radial:

Aceleração Centrípeta e Força Resultante Centrípeta (2).png (63.57 KiB) Exibido 2322 vezes

Essa resultante é calcula pela diferença entre as forças que possuem sentido para o centro da trajetória [tex3](1)[/tex3] e as que possuem sentido para fora dela [tex3](2):[/tex3]

[tex3]\text{R}_{\text{ ct}} = \sum_{} \, \text{F}_{\text{(1)}} - \sum_{} \, \text{F}_{\text{(2)}}[/tex3]

Aplicando a 2ª Lei de Newton na direção centrípeta para um móvel de massa [tex3]\text{m}, \,[/tex3] temos:

[tex3]\text{R}_{\text{ ct}} = \text{m} \cdot \frac{ |\text{v} |}{\text{R}^2 } \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \underbrace{\sum_{} \, \text{F}_{\text{(1)}} - \sum_{} \, \text{F}_{\text{(2)}} }_{ \text{ resultante centrípeta } } = \text{m} \cdot \frac{ |\text{v} |}{\text{R}^2 }[/tex3]

Bom, espero que tenha ajudado você a entender melhor.

[Planck]

Olá eumarccoss,

Primeiramente, vamos ao princípio da ideia: 2ª Lei de Newton.

O Princípio Fundamental da Dinâmica afirma que:

Se [tex3]\vec F[/tex3] é a resultante das forças que agem em uma partícula, então, em consequência de [tex3]\vec F[/tex3], a partícula adquire na mesma direção e no mesmo sentido da força, uma aceleração [tex3]\vec a[/tex3], cujo o módulo é diretamente proporcional à intensidade da força.

A expressão matemática da 2ª Lei de Newton é:

[tex3]\vec F = m \cdot \vec a[/tex3]

Um ponto que não é bem detalhado é que a aceleração que aparece na fórmula da 2ª Lei de Newton é a aceleração vetorial resultante. A aceleração resultante é composta por duas componentes: a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta. A primeira é responsável por variar o módulo do vetor velocidade, ou seja, a grosso modo, ela aumenta ou diminui a velocidade do móvel. A segunda é responsável por variar a direção do vetor velocidade. Nesse sentido, podemos definir aceleração como:

[tex3]\vec a = \vec a_{tangencial} + \vec a _{centrípeta}[/tex3]

É importante destacar que trata-se de uma soma vetorial e não algébrica. Tendo em vista isso, vamos observar dois exemplos:

Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
Como o movimento descreve uma reta, o vetor velocidade não sofreu variação na direção. Mas, como é uniformemente variado, o vetor velocidade sofreu variação de intensidade. Podemos expressar a aceleração resultante como:

[tex3]\vec a = \vec a_{tangencial} + \cancelto{0}{\vec a _{centrípeta}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\vec a = \vec a_{tangencial} }[/tex3]

Movimento Circular Uniforme
Como o movimento descreve uma circunferência, o vetor velocidade varia constantemente sua direção. No entanto, o movimento é uniforme, ou seja, a intensidade do vetor velocidade é sempre a mesma. Logo, podemos expressar a aceleração resultante como:

[tex3]\vec a = \cancelto{0}{\vec a_{tangencial}} + \vec a _{centrípeta}[/tex3]

[tex3]\boxed{\vec a = \vec a _{centrípeta}}[/tex3]

Para o primeiro movimento, vamos ter uma força resultante no sentido da aceleração tangencial:

[tex3]\vec F = m \cdot \vec a[/tex3]

Como:

[tex3]\vec a = \vec a_{tangencial} [/tex3]

Então:

[tex3]\vec F = m \cdot \vec a_{tangencial}[/tex3]

Usualmente, nesse caso, utiliza-se o módulo do vetor:

[tex3]|\vec F | = m \cdot |\vec a_{tangencial}|[/tex3]

Contudo, no Movimento Retilíneo Uniformemente Variado é válido afirmar que [tex3]|\vec a_{tangencial}| = |\alpha|[/tex3], isto é, o módulo da aceleração tangencial é igual ao módulo da aceleração escalar. Por esse motivo, não é abordada essa distinção.

Por outro lado, no Movimento Circular Uniforme, também haverá uma força resultante no sentido da aceleração centrípeta, pois essa é a aceleração resultante.

[tex3]\vec F = m \cdot \vec a[/tex3]

Como:

[tex3]\vec a = \vec a _{centrípeta}[/tex3]

Então:

[tex3]\vec F = m \cdot \vec a _{centrípeta}[/tex3]

Essa é a conhecida resultante centrípeta, existente apenas em movimentos circulares.

FORÇA_CP.png (48.03 KiB) Exibido 2320 vezes

Podemos deduzir a fórmula da aceleração centrípeta da seguinte forma:

Considere um movimento circular em uma circunferência de raio [tex3]R[/tex3] e velocidade constante e igual, em módulo, a [tex3]v[/tex3]. Vamos supor o movimento:

MCU.png (53.79 KiB) Exibido 2320 vezes

Temos um intervalo de tempo [tex3]\Delta t[/tex3] para ir de [tex3]A[/tex3] até [tex3]B[/tex3]. Nesse contexto, aceleração vetorial resultante média é dada por:

[tex3]|\vec a_m | = \frac{|\Delta \vec v|}{\Delta t}[/tex3]

Em outra análise, a variação do vetor velocidade pode ser dada por:

VARIAÇÃO_VELOCIDADE_VETORIAL.jpg (9.81 KiB) Exibido 2320 vezes

Observe que o ângulo entre [tex3]\vec v_A[/tex3] e [tex3]\vec v_B[/tex3] é igual ao ângulo entre os pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3]. Podemos concluir que os triângulos destacados são semelhantes. Dessa observação, é válido fazer que:

[tex3]\frac{|\Delta\vec v|}{AB} = \frac{|\vec v_A|}{R}[/tex3]

Com um [tex3]\Delta t[/tex3] muito pequeno, o segmento [tex3]\overline{AB}[/tex3] fica equivalente ao arco [tex3]AB[/tex3] e, assim, pode-se igualar ambos à [tex3]v \cdot \Delta t[/tex3]. Logo, podemos fazer que:

[tex3]\frac{|\Delta\vec v|}{AB} = \frac{|\vec v_A|}{R}[/tex3]

[tex3]\frac{|\Delta\vec v|}{v \cdot \Delta t} = \frac{|\vec v_A|}{R}[/tex3]

Com [tex3]|\vec v_A| = v[/tex3], obtemos:

[tex3]\frac{|\Delta\vec v|}{v \cdot \Delta t} = \frac{v}{R}[/tex3]

[tex3]\frac{|\Delta\vec v|}{\Delta t} = \frac{v\cdot v}{R}[/tex3]

[tex3]\frac{|\Delta\vec v|}{\Delta t} = \frac{v^2}{R}[/tex3]

Ou seja:

[tex3]|\vec a_m | = \frac{v^2}{R}[/tex3]

Para intervalos de tempos que tendem a zero, a aceleração vetorial média assume caráter instantâneo, com direção radial e orientação para o centro da trajetória. Isso justifica a denominação aceleração centrípeta.

[tex3]{\color{RoyalBlue}\boxed{|\vec a_{cp}| = \frac{v^2}{R}}}[/tex3]

Referências:

BISCUOLA, Gaulter José. DOCA, Ricardo Helou. VILLAS BÔAS, Newton. Física, volume 1 : mecânica : ensino médio. 3ª ed. São Paulo : Saraiva, 2016.