Olimpíadas ⇒ OIM (1990) - Geometria Tópico resolvido

[Babi123]

Em um triângulo [tex3]ABC[/tex3], seja [tex3]I[/tex3] o centro da circunferência inscrita [tex3]D, E, F[/tex3] são pontos de tangência com os lados [tex3]BC, AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3], respectivamente. Seja [tex3]P[/tex3] o outro ponto de interseção da reta [tex3]AD[/tex3] com a circunferência inscrita.
Se [tex3]M[/tex3] é o ponto médio de [tex3]EF[/tex3], mostre que os quatro pontos [tex3]P, I, M[/tex3] e [tex3]D[/tex3] pertecem a mesma circunferência.


OBS.: OIM trata-se da Olimpíada Iberoamericana de Matemática

[Ittalo25MOD]

ag.png (82.71 KiB) Exibido 2005 vezes

Potência de ponto em A: [tex3]AE^2 = AP \cdot AD [/tex3]

Semelhança em AIE e AME:

[tex3]\frac{AI}{AE} = \frac{AE}{AM} \rightarrow AE^2 = AI \cdot AM [/tex3]

Ou seja: [tex3]AP \cdot AD = AI \cdot AM [/tex3]

Que é a potência de ponto de A em relação à circunferência com os pontos P,D,I e M.

[Auto Excluído (ID:12031)]

Vamos inverter a reta [tex3]AD[/tex3] em relação ao incírculo de [tex3]\Delta ABC[/tex3]. Como ela é uma reta que não passa pelo centro de inversão (a menos que o triângulo seja equilátero, mas neste caso os pontos citados serão alinhados)então será invertida num círculo que passa por [tex3]I,P,D[/tex3] (pois retas que não passam pelo centro de inversão são invertidas em círculos que passam por ele e os pontos do círculo são inversos deles mesmos).

Basta provarmos que o inverso do ponto [tex3]M[/tex3] está sobre a reta [tex3]AD[/tex3].

Oras, o ponto [tex3]M[/tex3] está sobre a mediatriz de [tex3]EF[/tex3] bem como os pontos [tex3]I[/tex3] e [tex3]A[/tex3], logo o inverso de [tex3]M[/tex3] está sobre a reta [tex3]AI[/tex3]. Mais que isso o ponto [tex3]M[/tex3] é justamente o encontro da polar de [tex3]A[/tex3] com a reta [tex3]AI[/tex3]. Logo [tex3]M[/tex3] é o inverso de [tex3]A[/tex3]. Portanto os pontos citados são conclícicos.

[Planck]

Olá Babi123,

Para facilitar, fiz a construção utilizando um triângulo equilátero:

geogebra-export (84).png (61.65 KiB) Exibido 1994 vezes

Note que:

[tex3]\overline{AF} = \overline{AE}[/tex3]

Isso é justificável por conta da tangência.

Se [tex3]M[/tex3] é ponto médio, então [tex3]\overline{AM}[/tex3] é bissetriz de [tex3]\measuredangle FAE[/tex3], pois, [tex3]\overline{AF} = \overline{AE}[/tex3] e, com isso, garantimos que [tex3]\triangle FAE[/tex3] é no mínimo isósceles. Além disso, também podemos afirmar que o segmento [tex3]\overline{AI}[/tex3] também é bissetriz de [tex3]\measuredangle FAE[/tex3]. Desse modo, [tex3]A, \; M, \; I[/tex3] são colineares.

Podemos afirmar que [tex3]\measuredangle AME[/tex3] é [tex3]90º[/tex3]. E [tex3]\measuredangle AEI[/tex3] é [tex3]90º[/tex3]. Por potência de ponto, podemos dizer que:

[tex3]\overline {AM} \cdot \overline {AI} = \overline {AE}^2[/tex3]

Por potência de ponto novamente:

[tex3]\overline {AE}^2 = \overline{AP} \cdot \overline {AD}[/tex3]

Logo:

[tex3]\boxed{\overline {AM} \cdot \overline {AI} = \overline{AP} \cdot \overline {AD}}[/tex3]

Essa é a condição para potência de dois segmentos secantes à circunferência. Pela construção que fiz do triângulo equilátero, os dois segmentos também são colineares (talvez não foi uma boa ideia montar o triângulo equilátero)! Talvez tenha outros jeitos melhores de demonstrar... jvmago, eu lhe invoco!

[Auto Excluído (ID:12031)]

só que quando o triângulo é equilátero os quatro pontos são alinhados, Planck, É a única exceção quando o círculo se degenera a uma reta

[Planck]

só que quando o triângulo é equilátero os quatro pontos são alinhados, Planck, É a única exceção quando o círculo se degenera a uma reta

Compreendi!

[jvmago]

Olá Babi123,

Para facilitar, fiz a construção utilizando um triângulo equilátero:

geogebra-export (84).png

Note que:

[tex3]\overline{AF} = \overline{AE}[/tex3]

Isso é justificável por conta da tangência.

Se [tex3]M[/tex3] é ponto médio, então [tex3]\overline{AM}[/tex3] é bissetriz de [tex3]\measuredangle FAE[/tex3], pois, [tex3]\overline{AF} = \overline{AE}[/tex3] e, com isso, garantimos que [tex3]\triangle FAE[/tex3] é no mínimo isósceles. Além disso, também podemos afirmar que o segmento [tex3]\overline{AI}[/tex3] também é bissetriz de [tex3]\measuredangle FAE[/tex3]. Desse modo, [tex3]A, \; M, \; I[/tex3] são colineares.

Podemos afirmar que [tex3]\measuredangle AME[/tex3] é [tex3]90º[/tex3]. E [tex3]\measuredangle AEI[/tex3] é [tex3]90º[/tex3]. Por potência de ponto, podemos dizer que:

[tex3]\overline {AM} \cdot \overline {AI} = \overline {AE}^2[/tex3]

Por potência de ponto novamente:

[tex3]\overline {AE}^2 = \overline{AP} \cdot \overline {AD}[/tex3]

Logo:

[tex3]\boxed{\overline {AM} \cdot \overline {AI} = \overline{AP} \cdot \overline {AD}}[/tex3]

Essa é a condição para potência de dois segmentos secantes à circunferência. Pela construção que fiz do triângulo equilátero, os dois segmentos também são colineares (talvez não foi uma boa ideia montar o triângulo equilátero)! Talvez tenha outros jeitos melhores de demonstrar... jvmago, eu lhe invoco!

Estou muito longe destas demonstrações!!