Ensino Médio ⇒ Sistema de Numeração Decimal e Progressões Geométricas

[Claudio Oka]

Um número positivo é formado por três algarismos, os quais estão em progressão geométrica. Permutando-se os dois últimos algarismos da direita, o número aumenta de 54 unidades. Então, qual é esse número?

[Thales Gheós]

sejam os tres algarismos: [tex3]a,aq,aq^2[/tex3] em PG de razão [tex3]q[/tex3]. Temos os dois números: [tex3]100a+10aq+aq^2[/tex3] e [tex3]100a+10aq^2+aq[/tex3] de tal sorte que:

[tex3]100a+10aq+aq^2-100a-10aq^2-aq=54[/tex3]

após um desenvolvimento chegamos a:

[tex3]aq^2-aq=6[/tex3] -> a diferença entre o terceiro e segundo algarismos é [tex3]6[/tex3] e como são algarismos de 0 a 9:

[tex3]aq^2=9 \rightarrow{aq}=3[/tex3] ou
[tex3]aq^2=8 \rightarrow{aq}=2[/tex3] ou
[tex3]aq^2=7 \rightarrow{aq}=1[/tex3]

o único par que satisfaz é: [tex3]aq^2=9[/tex3] e [tex3]aq=3[/tex3] e o número é [tex3]139[/tex3] sendo [tex3]193-139=54[/tex3]

[Claudio Oka]

Obrigado