Pré-Vestibular ⇒ (UCB - 1998) Conjuntos Numéricos: Inteiros Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O número [tex3]1690[/tex3] possui dez divisores naturais?

[fabit]

Vejamos:

• [tex3]1690=13^2\cdot 10=2\cdot 5\cdot 13^2=1\cdot 1690 = 2\cdot 845 = 5\cdot 338 = 10\cdot 169 = 13\cdot 130 =26\cdot 65.[/tex3]

O total é de [tex3]12[/tex3] divisores naturais (pelos expoentes da fatoração, [tex3]2\cdot 2\cdot 3=12[/tex3] confirma). Agora, ocorreu-me um pensamento maldoso, o de a pergunta ser uma pegadinha semelhante àquela de:

• [tex3]{-}[/tex3] Quantos meses do ano têm [tex3]30[/tex3] dias?
  
  Você responde quatro, pensando em abril, junho, setembro e novembro e o cara te zoa:
  
  [tex3]{- }[/tex3] Não, são [tex3]11.[/tex3] Exceto fevereiro, todos têm [tex3]30[/tex3] dias, alguns até mais!

Desse modo, [tex3]1690[/tex3] tem [tex3]10[/tex3] divisores naturais. Tudo bem que são [tex3]12,[/tex3] mas que tem [tex3]10,[/tex3] isso tem.

[Thadeu]

Aldrin, tem um processo mais rápido de saber; basta você fatorar o número

• [tex3]1690\,=\,2^1\cdot 5^1 \cdot 13^2[/tex3]

Para determinar a quantidade de divisores naturais de um número qualquer, basta multiplicar os expoentes dos fatores, adicionados de [tex3]1[/tex3] unidade.

• [tex3](1+1)\cdot (1+1)\cdot (2+1)=2\cdot 2\cdot 3=12[/tex3] divisores.

[Karl Weierstrass]

Tópico Relacionado: (UNIFAL) Número de Divisores Positivos de um Inteiro.