Ensino Superior ⇒ Teorema do Valor Médio / Teorema de Rolle

[joaopaulo2]

3. Mostre que a equação [tex3]2x − 1 = sin(x)[/tex3] possui uma única solução.

[deyvson123]

Seja [tex3]f(x)=2x-1-\sen x[/tex3], observe que [tex3]f(0)<0[/tex3] e [tex3]f(\pi/2)>0[/tex3]. Como a função é continua em todo o seu domínio (justifique), pelo Teorema do Valor intermediário exste um [tex3]0 < a <\pi/2 [/tex3] tal que [tex3]f(a) = 0[/tex3]. Com isso provamos que a função tem uma raiz, ou seja que existe um [tex3]x[/tex3] tal que [tex3]f(x)=0[/tex3] o que significa que [tex3]2x-1-\sen x=0[/tex3]. Falta provar se a raiz que existe é única.
Para isso suponha por absurdo que existe uma outra raiz [tex3]b[/tex3] tal que [tex3]f(b)=0[/tex3], suponha que [tex3]b>a[/tex3]. Pelo Teorema de Rolle, como [tex3]f(a)=f(b)[/tex3], existe um [tex3]c\in (a,b)[/tex3] tal que [tex3]f'(c)=0[/tex3]. Agora observe que [tex3]f'(x)=2-\cos x[/tex3] que é maior do que zero para todo [tex3]x[/tex3], ou seja [tex3]f'(c)=2-\cos c > 0[/tex3], o que é um absurdo, logo não é possível existir uma outra raiz diferente de [tex3]a[/tex3].