Ensino Superior ⇒ Teorema de Rolle / Teorema do Valor Médio Tópico resolvido

[joaopaulo2]

4. Mostre que a equação [tex3]x^3 − 3x^2 + 6 = 0[/tex3] admite uma única raiz real. Determine um
intervalo de amplitude igual 1 que contenha a raiz.

Resposta

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(R : [−2, −1])

[AnthonyC]

Primeiro, podemos usar o T.V.I para mostrar que a função [tex3]f(x)=x^3-3x^2+6[/tex3] possui ao menos uma raiz real. Para isso, verificamos as duas condições de aplicação:

• A função é contínua:
  Esse é fácil de demonstrar, dado que [tex3]x^n, ~~n\in\mathbb{N}[/tex3] é sempre contínua e a soma de contínuas resulta em contínua.

• Existe troca de sinal:
  [tex3]f(1)=4[/tex3]
  
  [tex3]f(-3)=-48[/tex3]

Com as duas condições satisfeitas, sabemos que existe ao menos uma raiz real. Vamos agora provar que ela é única:

[tex3]f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)[/tex3]

[tex3]f''(x)=6x-6[/tex3]
Encontrando os zeros da derivada e verificando na segunda derivada, vemos que a função possui máximo local em [tex3]x=0[/tex3] e mínimo local em [tex3]x=2[/tex3]. Analisando o sinal da derivada, podemos verificar que a função é:
[tex3]\begin{cases}
\text{crescente, se} ~x<0 \\
\text{decrescente, se} ~0< x<2 \\
\text{crescente, se} ~x>2
\end{cases}[/tex3]

Fazendo um gráfico, teríamos isso:

Única Raiz Real -1.png (2.25 KiB) Exibido 2469 vezes

Também temos que [tex3]f(2)=2[/tex3], então teríamos isso:

Única Raiz Real -2.png (3.84 KiB) Exibido 2469 vezes

Dado que [tex3]x=2[/tex3] é mínimo local, então os pontos ao redor dele estarão acima dele, após ele a função crescerá estritamente e entre 0 e 2 ela irá do máximo até o mínimo. Como esses são os únicos ponto em que a função altera seu crescimento, indo no sentido negativo de [tex3]x[/tex3] a função irá decrescer estritamente. Logo, ela só possuíra uma raiz, em [tex3]x <0[/tex3].

Queremos agora um intervalo que contenha essa raiz. Pra isso, podemos apenas ir testando valores e verificando intervalos no qual ela muda de sinal.

[tex3]x[/tex3]	[tex3]f(x)[/tex3]
-3	- 48
-2	-14
-1	2
0	6

Podemos ver que ocorre uma mudança de sinal no intervalo [tex3][-2,-1][/tex3]. Logo, o intervalo [tex3][-2,-1][/tex3] contêm a raiz.