Pré-Vestibular ⇒ (UnB) Matriz Tópico resolvido

[andrezza]

No sistema de coordenadas cartesianas xOy, cuja unidade de medida de comprimento é o centímetro, o ponto (x, y) é identificado com o número complexo z = x + yi, em que x = Re(z) é a parte real, y = Im(z) é a parte imaginária e i é a unidade imaginária. Nesse sistema, considere que, em certo instante, uma partícula ocupa a posição P = (x, y) e que Q = seja um ponto do plano, com P (x, y) e que Q (x', y') seja um ponto do plano, com [tex3]P\neq Q[/tex3]. Considere as matrizes A = [tex3]\begin{pmatrix}
cos\theta & -sen\theta \\
seno\theta & cos\theta \\
\end{pmatrix}[/tex3] , B =[tex3]\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{pmatrix}[/tex3] e C = A- λI₂, em que I2 denota a matriz identidade de ordem 2, e λ e [tex3]\theta [/tex3] são numeros reais com 0<[tex3]\theta [/tex3]<2 [tex3]\pi [/tex3].

Representando os pontos P e Q pelas matrizes colunas P =[tex3]\begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix}[/tex3] e Q = [tex3]\begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
\end{pmatrix}[/tex3], julgue:

1- Se [tex3]\theta [/tex3] [tex3]\neq \pi [/tex3] então a equação det C = 0 possui duas raízes complexas conjugadas.
2- Se Q = A.P, então o ponto P está mais distante da origem O = (0, 0) que o ponto Q.
3- Se P percorre a circunferência de centro (0, 0) e raio = 1 e Q = B.P, então Q percorre a elipse de centro (0, 0) e focos em ([tex3]\sqrt{5}[/tex3],0) e (-[tex3]\sqrt{5}[/tex3],0).
4- Se a partícula parte da origem e, depois, descreve a trajetória fechada mais curta que passa pelas raízes complexas da equação , no sentido crescente de seus argumentos, z⁴=1 então a distância percorrida pela partícula é inferior a 6 cm.

Resposta

---

C E C E

[Planck]

Olá andrezza,

Vamos analisar cada item:

1 ㅤSe [tex3]\theta \neq \pi[/tex3], então a equação [tex3]\det C = 0[/tex3] possui duas raízes complexas conjugadas.

Podemos fazer que:

[tex3]C = \left [ \begin {array} {ccccc}
\cos \theta & - \sen \theta \\
\sen \theta & \cos \theta
\end {array}\right]

-

\left [ \begin {array} {ccccc}
\lambda & 0 \\
0 & \lambda
\end {array}\right]
\iff

\left [ \begin {array} {ccccc}
\cos \theta - \lambda & - \sen \theta \\
\sen \theta & \cos \theta - \lambda
\end {array}\right]

[/tex3]

Vamos fazer o determinante de [tex3]C[/tex3]:

[tex3]\det C = \left | \begin {array} {ccccc}
\cos \theta - \lambda & - \sen \theta \\
\sen \theta & \cos \theta - \lambda
\end {array}\right| \iff \det C = ( \cos \theta - \lambda)^2 + \sen^2 \theta =0[/tex3]

[tex3]\cos^2 \theta - 2\cdot \lambda \cos \theta + \lambda^2 + \sen^2 \theta = 0 \iff \lambda^2 - 2 \cdot \lambda \cos \theta + 1 =0[/tex3]

[tex3]\lambda = \frac{2 \cdot \cos \theta \pm \sqrt{(-2 \cdot \cos \theta)^2 - 4 }}{2}[/tex3]

[tex3]\lambda = \frac{2 \cdot \cos \theta \pm \sqrt{4 \cdot (\cos^2 \theta - 1)}}{2} [/tex3]

[tex3]\lambda = \frac{2 \cdot \cos \theta \pm \sqrt{4 \cdot -\sen^2 \theta }}{2} [/tex3]

[tex3]\lambda = \frac{2 \cdot \cos \theta \pm 2 \cdot |\sen \theta| \cdot i}{2} [/tex3]

[tex3]\boxed{\lambda = \cos \theta \pm i \cdot \sen \theta}[/tex3]

Portanto, a afirmativa é errada. Fui procurar o gabarito oficial e esse item foi anulado.

2 ㅤSe [tex3]Q = P \cdot A[/tex3], então o ponto [tex3]P[/tex3] está mais distante da origem [tex3]O = (0, 0)[/tex3] que o ponto [tex3]Q[/tex3].

Temos que, inicialmente, que:

[tex3]Q = P \cdot A[/tex3]

Na forma matricial:

[tex3]\left [ \begin {array} {ccccc}
x' \\
y'

\end {array}\right] =

\left [ \begin {array} {ccccc}
\cos \theta & -\sen \theta \\
\sen\theta & \cos\theta \\

\end {array}\right] \cdot \left [ \begin {array} {ccccc}
x \\
y
\end {array}\right]
[/tex3]

Podemos fazer o seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}
x'= x\cos \theta - y\sen \theta \\
y' = x \sen \theta + y \cos \theta
\end{cases}[/tex3]

Vamos utilizar Geometria Analítica para calcular a distância de [tex3]Q[/tex3] até [tex3]O[/tex3]:

[tex3]\overline {OQ} = \sqrt{ (x')^2 + (y')^2}[/tex3]

Essa fórmula advém da aplicação do Teorema de Pitágoras. Podemos substituir os termos e obter:

[tex3]\overline {OQ} = \sqrt{ (x\cos \theta - y\sen \theta)^2 + (x \sen \theta + y \cos \theta )^2}[/tex3]

A expressão vai ficar monstruosa, mas podemos simplificar muitas coisas, talvez alguém consiga encontrar uma saída melhor nesse ponto. Vamos obter:

[tex3]\overline {OQ} = \sqrt{ x^2\cos^2 \theta -2 \cdot x\cos \theta \cdot y\sen \theta + y^2 \sen^2 \theta + x^2 \sen^2 \theta + 2 \cdot x \sen \theta \cdot y \cos \theta + y^2 \cos^2 \theta}[/tex3]

Vamos organizar um pouco esse caos:

[tex3]\overline {OQ} = \sqrt{ x^2\cos^2 \theta + x^2 \sen^2 \theta + y^2 \sen^2 \theta {\color{red} \cancel{{\color{black}-2 \cdot x\cos \theta \cdot y\sen \theta}}} + {\color{red} \cancel{{\color{black}2 \cdot x\cos \theta \cdot y\sen \theta}}} + y^2 \cos^2 \theta}[/tex3]

[tex3]\overline {OQ} = \sqrt{ x^2\cos^2 \theta + x^2 \sen^2 \theta + y^2 \sen^2 \theta + y^2 \cos^2 \theta}[/tex3]

[tex3]\overline {OQ} = \sqrt{ x^2 \cdot \underbrace{(\cos^2 \theta + \sen^2 \theta)}_{1} + y^2 \cdot \underbrace{(\sen^2 \theta + \cos^2 \theta)}_{1}}[/tex3]

[tex3]\overline {OQ} = \sqrt{ x^2 + y^2 } \iff \boxed{\overline{OQ} = \overline{OP}}[/tex3]

Portanto, a afirmativa é errada.

3 ㅤSe [tex3]P[/tex3] percorre a circunferência percorre a circunferência de centro [tex3](0, 0)[/tex3] e raio [tex3]= 1[/tex3] e [tex3]Q = B\cdot P[/tex3], então [tex3]Q[/tex3] percorre a elipse de centro (0, 0) e focos em [tex3](\sqrt 5, 0)[/tex3] e [tex3](-\sqrt 5, 0)[/tex3].

Primeiramente, temos que, pelo item:

[tex3]Q = B \cdot P[/tex3]

Na forma matricial:

[tex3]\left [ \begin {array} {ccccc}
x' \\
y'

\end {array}\right] =

\left [ \begin {array} {ccccc}
3 & 0 \\
0 & 2 \\

\end {array}\right] \cdot \left [ \begin {array} {ccccc}
x \\
y
\end {array}\right]
[/tex3]

Obtemos o seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}
x'=3 x \\
y'=2y
\end{cases}[/tex3]

Logo:

[tex3]x = \frac{x'}{3}, ~~y =\frac{y'}{2}[/tex3]

Sabemos da equação que:

[tex3]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/tex3]

No caso:

[tex3]x^2 + y^2 = 1 \iff \frac{x'^2}{9} + \frac{y'^2}{4} = 1[/tex3]

Além disso, é preciso que:

[tex3]a^2 = b^2 + c^2 \iff c^2 = a^2 - b^2 \Rightarrow c^2 = 9 -4 [/tex3]

[tex3]c = \sqrt 5[/tex3]

Logo, os focos da elipse são [tex3]F_1 = (-\sqrt5, 0 )[/tex3] e [tex3]F_2 = (\sqrt 5, 0)[/tex3]. Assim, a afirmativa é correta.

4 ㅤSe a partícula parte da origem e, depois, descreve a trajetória fechada mais curta que passa pelas raízes complexas da equação [tex3]z^4 = 1[/tex3], no sentido crescente de seus argumentos, então a distância percorrida pela partícula é inferior a [tex3]6 \text{ cm}[/tex3].

Podemos fazer que:

[tex3]z^4 = 1 \iff z^4 -1 = 0 \Rightarrow (z^2 -1) \cdot (z^2 + 1) = 0[/tex3]

Com isso:

[tex3]\begin{cases}
z^2 + 1 = 0 \\
z^2 -1 =0
\end{cases}[/tex3]

[tex3]z = \pm i, ~~ z = \pm 1[/tex3]

A trajetória da partícula é a mais curta possível. Então, ela vai de [tex3]0 \rightarrow 1[/tex3], [tex3]1 \rightarrow i[/tex3], [tex3]i \rightarrow -1[/tex3], [tex3]-1 \rightarrow -i[/tex3] e, finalmente, [tex3]-1 \rightarrow 0[/tex3], ou seja:

[tex3]1 + \sqrt 2 + \sqrt 2 + \sqrt 2 + 1 \iff 2 + 3\sqrt 2 \approx 6,2 \text{ cm }[/tex3]

Disso, notamos que a afirmativa é errada.

[andrezza]

[tex3]\boxed{\lambda = \cos \theta \pm i \cdot \cos \theta}[/tex3] Portanto, a afirmativa é errada.

Mas a resposta deu números complexos conjugados, não?

[Planck]

[tex3]\boxed{\lambda = \cos \theta \pm i \cdot \cos \theta}[/tex3] Portanto, a afirmativa é errada.

Mas a resposta deu números complexos conjugados, não?

O problema é que se [tex3]\theta = 2\pi [/tex3], só há uma raiz e ela é real. Além disso, digitei errado, por isso pode ter dado dúvida, o correto é:

[tex3]\boxed{\lambda = \cos \theta \pm i \cdot {\color {BurntOrange}\sen \theta}}[/tex3]

Note que [tex3]\sen 2\pi = 0[/tex3]