Pré-Vestibular ⇒ (UNICAMP - 2005) Geometria Plana: Área de um Triângulo Tópico resolvido

[Doug]

Sejam [tex3]A,B,C \text{ e } D[/tex3] os vértices de um quadrado cujos lados medem [tex3]10\text{ cm}[/tex3] cada. Suponha que a circunferência [tex3]C[/tex3] passe pelos pontos [tex3]C[/tex3] e [tex3]D,[/tex3] que formam o lado [tex3]CD[/tex3] do quadrado, e que seja tangente, no ponto [tex3]M,[/tex3] ao lado oposto [tex3]AB.[/tex3]

a) Calcule a área do triângulo cujos vértices são [tex3]C, D \text{ e } M.[/tex3]
b) Calcule o raio da circunferência [tex3]C.[/tex3]

Respostas:

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a) [tex3]50 \text{ cm}^2[/tex3]
b) [tex3]6,25\text{ cm}[/tex3]

[Thales Gheós]

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a) Seja [tex3]N[/tex3] o ponto médio de [tex3]CD.[/tex3] Logo,

• [tex3]MN\parallel AD\parallel BC\Longrightarrow \overline{MN}=\overline{AD}=\overline{BC}=10.[/tex3]

• [tex3][CMD]=\frac{1}{2}\cdot \overline{CD}\cdot \overline{MN}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 10=50\text{ cm}^2.[/tex3]

b) Seja [tex3]r[/tex3] o raio da circunferência de centro [tex3]O[/tex3] que passa por [tex3]C, M \text{ e } D.[/tex3]

• [tex3]\overline{ON}=\overline{MN}-\overline{MO}=10-r.[/tex3]

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo [tex3]OND,[/tex3] obtemos:

• [tex3]r^2=5^2+(10-r)^2\Longrightarrow r^2=125-20r+r^2\Longrightarrow r=6,25 \text{ cm}.[/tex3]