Ensino Superior ⇒ colinearidade associada a um incírculo mixtilinear de um triângulo Tópico resolvido

[geobson]

Galera que ama a geometria plana como eu amo, por favor me ajudem a sanar uma dúvida cruel ,
pessoal neste site de matemática que estava visitando , há uma demonstração de colinearidade envolvendo incírculo mixtilinear.
a demonstração é feita por inversão de círculos . até aí tudo bem . o problema mesmo é o final da resolução , não consigo entender o porquê da conclusão da colinearidade dos pontos P, Q e R devido ao fato de AP'QR' ser inscritível. por favor se alguém puder dar uma conferida na demonstração e perceber o que eu não consegui perceber , vou ser muito grato .o link esta abaixo
http://geometriadominicana.blogspot.com ... rculo.html

[Auto Excluído (ID:12031)]

a demonstração disso se faz por homotetia, que é infinitamente mais natural e mais fácil do que apelar para inversão.

A prova de que a tangente no ponto médio de uma corda qualquer é paralela a essa corda está aqui:
viewtopic.php?f=28&t=69632

Como dois círculos tangentes entre si são sempre homotéticos pelo ponto de tangência
então a imagem da homotetia do ponto Q desse seu link deve ter a tangente paralela à corda AC esta imagem é o ponto P. Como a imagem da homotetia é colinear ao centro e ao ponto original, temos a colinearidade que você quis.

Essas questões de círculos tangentes são geralmente mais intuitivas entendendo essa homotetia no ponto de contato entre os dois

[Auto Excluído (ID:12031)]

quanto a sua dúvida explicitamente:

o inverso de um círculo que passa pelo centro de inversão é uma reta que não passa pelo mesmo (está demonstrado no meu tópico de inversão 2)

Então o inverso do círculo (AP'QR') é uma reta que passa por PQR (já que Q é inverso dele mesmo).

Abraço!

[geobson]

Obrigado ! Sou fascinado por geometria.
Ficaria frustado se nao obtivesse uma resposta . eu nao consegui deduzir a relacao da colinearidade com o fato dos pontos serem vertices de um quadrilatero inscritível ...mas problema resolvido graças a você. Valeu !!
Até outro problema.!

[Auto Excluído (ID:12031)]

Imagina, Se tiver mais problemas ou dúvidas quanto a inversão é só postar. É muito bom ter alguém interessado nessa parte da geometria, seus problemas são bem legais.

[Auto Excluído (ID:12031)]

este problema em especial eu acho melhor você entender por homotetia mesmo tho