Pré-Vestibular ⇒ (FGV) Pontos e Segmentos Notáveis Tópico resolvido

[gt08]

(FGV) Dado dois pontos distintos A e B de um plano, os pontos X desse plano que satisfazem a condição AX= 2.BX pertencem todos a uma mesma circunferência. A expressão do raio da circunferência em função do comprimento d do segmento AB é:
a) d/2
b) 2/d
c) 2d
d) d
e) 2d/3

Resposta

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Gabarito: letra e) 2d/3

Tem uma forma fácil de fazer só com a circunferência e os pontos?

[Auto Excluído (ID:12031)]

se você souber da circunferência de apolônio, sim.

A circunferência tem três propriedades fundamentais como lugar geométrico:

É o LG dos pontos que equidistam de um ponto fixo.
É (na verdade o arco-capaz é) o LG dos pontos que enxergam um segmento sob um ângulo fixo.

A terceira e mais esquecida: é o LG dos pontos cuja razão entre as distâncias até outros dois pontos fixos é constante (círculos de Apolônio)

Se você lembrar deste círculo verá que o diâmetro dele está sobre a reta AB. Então basta encontrar os dois pontos nessa reta tais que AX = 2BX e o diâmetro será a distância entre eles.

Se X está entre A e B:
[tex3]AX = x \implies BX = \frac x2[/tex3] mas [tex3]AX + BX = d \implies x = \frac {2d}3[/tex3]

Se X está fora do segmento AB:
[tex3]AX = y \implies BX = \frac y2[/tex3] mas [tex3]AX = AB + BX \implies y = 2d[/tex3]

a distância entre esses dois é: [tex3]2d - \frac23d = \frac43d[/tex3] que é o diâmetro, logo o raio é [tex3]\frac23d[/tex3]