Ensino Superior ⇒ [Álgebra Linear] Auto-vetores Tópico resolvido

[LucasBlade]

Para F(x,y,z) = (2x, x-y, 3x-2z) uma aplicação linear, encontre os auto-vetores de F com auto-valor c>0.

[Planck]

Olá LucasBlade,

Primeiramente, podemos utilizar a forma matricial:

[tex3]A =\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
3 & 0 & -2 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Podemos fazer que:

[tex3]P(\lambda) = \det ( A - \lambda \cdot I)[/tex3]

Ou seja:

[tex3]P(\lambda) = \det \left| \begin{array}{ccccc}
2 - \lambda & 0 & 0 \\
1 & -1 - \lambda & 0 \\
3 & 0 & -2- \lambda \\
\end{array} \right|[/tex3]

[tex3]P(\lambda) = (\lambda^2 -4)(-1-\lambda)[/tex3]

Teremos autovalores quando:

[tex3]P(\lambda) = 0[/tex3]

Portanto:

[tex3]\lambda^2 - 4 = 0 \iff \lambda = \pm 2[/tex3]

Ou

[tex3]-1 - \lambda = 0 \iff \lambda = -1[/tex3]

Como os autovalores precisam ser [tex3]>0[/tex3], temos somente [tex3]\lambda = 2[/tex3]. Os autovetores serão:

[tex3]A_1 : (2-2) \cdot x = 0 \Rightarrow x = 0[/tex3]

[tex3]A_2 : (1-2) \cdot x + (-1-2) \cdot y = 0 \Rightarrow -1 \cdot x -3 \cdot y = 0[/tex3]

[tex3]A_3 : (3-2) \cdot x + (-2-2) \cdot z = 0 \Rightarrow x = 0[/tex3]

Os autovetores, para [tex3]\lambda > 0[/tex3], são da forma [tex3](0, ~-x -3y, ~0, ~0)[/tex3]