Ensino Superior ⇒ Multiplicadores de Lagrange Tópico resolvido

[menelaus]

Encontre o máximo e mínimo de [tex3]f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2[/tex3], sujeito à [tex3]x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9} = 1[/tex3].

[matbatrobin]

Minimização.

Se [tex3](x,y,z)[/tex3] satisfaz a restrição, então temos [tex3]x^2>0[/tex3] ou [tex3]y^2>0[/tex3] ou [tex3]z^2>0,[/tex3] pois se [tex3]x=y=z=0[/tex3], teríamos que [tex3]x^2+y^2/4+z^2/9=0\neq 1,[/tex3] que é uma contradição.

Definimos [tex3]f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,[/tex3] [tex3]g(x,y,z)=x^2+y^2/4+z^2/9[/tex3] e [tex3]\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z).[/tex3] Por Lagrange se [tex3](x,y,z)[/tex3] satisfaz a restrição e é mínimo local, então [tex3]0= \nabla f(\boldsymbol{x})+\lambda\nabla g(\boldsymbol{x}).[/tex3]

Logo, [tex3]\begin{cases} 0= 2x+\lambda 2x\\ 0=2y+\lambda\frac{2}{4}y \\ 0=2z+\lambda\frac{2}{9}z \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x=-\lambda x \\ y=-\lambda\frac{y}{4} \\ z=-\lambda\frac{z}{9} \end{cases}[/tex3] o que pela implica que [tex3]\lambda\neq 0,[/tex3] se não teremos [tex3]x=y=z=0.[/tex3] O fato de que cada variável está multiplicada por uma constante diferente no sistema, então há duas delas que são 0. Por exemplo, se [tex3]\lambda=-1[/tex3] então [tex3]x=1,[/tex3] [tex3]y=y/4\Rightarrow y=0[/tex3] e [tex3]z=z/9\Rightarrow z=0.[/tex3] Aqui temos que pensar em qual variável tem que ser a não nula de forma que a restrição seja satisfeita e de fato minimizamos o valor de [tex3]f[/tex3] em [tex3]\boxed{(x,y,z)=\pm (1,0,0)}[/tex3] e [tex3]\boxed{\lambda=\mp 1}.[/tex3]

Maximização.

Analogamente, definimos [tex3]f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,[/tex3] [tex3]g(x,y,z)=x^2+y^2/4+z^2/9[/tex3] e [tex3]\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=-f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z).[/tex3] Chegaremos então em [tex3]\begin{cases} x=\lambda x \\ y=\lambda\frac{y}{4} \\ z=\lambda\frac{z}{9} \end{cases}[/tex3] de onde novamente teremos [tex3]\lambda\neq 0.[/tex3] Aqui, qual a varável que mais podemos aumentar satisfazendo a restrição? É claro que é o [tex3]z.[/tex3] Assim, o máximo de [tex3]f[/tex3] é atingido em [tex3]\boxed{(x,y,z)=\pm (0,0,3)}[/tex3] e [tex3]\boxed{\lambda=\pm 9}.[/tex3]