IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2005) Geometria Plana: Áreas Tópico resolvido

[agp16]

Um círculo [tex3]\alpha[/tex3] de centro num ponto [tex3]A[/tex3] e raio [tex3]2\sqrt {3}[/tex3] é tangente interior, num ponto [tex3]B,[/tex3] a um círculo [tex3]\beta[/tex3] de centro num ponto [tex3]O[/tex3] e raio [tex3]6\sqrt{3}.[/tex3] Se o raio [tex3]OC[/tex3] é tangente a [tex3]\alpha[/tex3] num ponto [tex3]D,[/tex3] a medida da área limitada pelo segmento [tex3]DC[/tex3] e os menores arcos [tex3]BC[/tex3] de [tex3]\beta[/tex3] e [tex3]BD[/tex3] de [tex3]\alpha[/tex3] é igual a

a) [tex3]4\pi- 3\sqrt {3}[/tex3]
b) [tex3]5\pi - 4\sqrt {3}[/tex3]
c) [tex3]4\pi - 6\sqrt {3}[/tex3]
d) [tex3]5\pi - 6\sqrt {3}[/tex3]
e) [tex3]5\pi - 5\sqrt {3}[/tex3]

[adrianotavares]

• 

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Queremos calcular

• [tex3][OBC]-[ODA]-[ADB],[/tex3]

onde [tex3][OBC][/tex3] é a área do setor [tex3]OBC,[/tex3] [tex3][ODA][/tex3] é a área do triângulo [tex3]ODA[/tex3] e [tex3][ADB][/tex3] é a área do setor [tex3]ADB.[/tex3]

• [tex3]\overline{OA}=\overline{OB}-\overline{AB}=6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}.[/tex3]

• [tex3]\cos O\widehat{A}D=\frac{\overline{AD}}{\overline{OA}}=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\Longrightarrow O\widehat{A}D=60^\circ.[/tex3]

Logo, [tex3]D\widehat{O}A=90^\circ -60^\circ=30^\circ \text{ e } D\widehat{A}B=180^\circ-60^\circ=120^\circ .[/tex3]

A área pedida é

• [tex3]\frac{30^\circ\cdot \pi\cdot (6\sqrt{3})^2}{360^\circ}-\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}\cdot\text{sen}60^\circ -\frac{120^\circ\cdot \pi\cdot (2\sqrt{3})^2}{360^\circ}=5\pi-6\sqrt{3}\text{ u.a.}[/tex3]

Letra (d).