Ensino Superior ⇒ subconjuntos e subespaços

[sempe]

Mostre que os seguintes subconjuntos de R^4 são subespaços
a) W={(x,y,z,t) pertence R^4/x+y=0 e z-t=0}
b) U={(x,y,z,t) pertence R^4/2x+y-t=0 e z=0}

[feoli16]

a) W= {(x,y,z,t) ∈ R4 ǀ x+y=0 e z-t= 0}

i)v1=(x1,y1,z1,t1) ∈ W e v2=(x2,y2,z2,t2) ∈ W

v1+v2=( x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2, t1+ t2 )

(x1+ x2)+( y1+ y2)=( x1+ y1)+( x2+ y2)= 0 + 0= 0

(z1+ z2)-( t1+ t2)=( z1- t1)+( z2- t2)= 0 + 0= 0

V1 + V2 ∈ W

ii) v=(x,y,z,t) ∈ W e λ ∈ R Então λ.v=(λx,λy,λz,λt).

λx + λy = λ (x+y)= λ . 0= 0

λz – λt = λ (z-t )= λ . 0= 0

λv ∈ W.Portanto W é subespaço.

b) u= {(x,y,z,t) ∈ R4 ǀ2x -y -t=0 e z= 0}

seja v1=(x1,y1,z1,t1) ∈ W e v2=(x2,y2,z2,t2) ∈ W

v1+v2=( x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2, t1+ t2 )

entãoV1 + V2 ∈ W

testemos

2(x1+ x2) – (y1+ y2) – (t1+ t2)=0

2x1- y1- t1=0

2x2- y2- t2=0

z1+ z2=0

z1=0

z2=0 temos que V1 + V2 ∈ W

ii) seja v=(x,y,z,t) ∈ W e λ ∈ R Então λ.v=(λx,λy,λz,λt).

Testemos

2xλ – λy- λt = λ (2x-y-t)= λ . 0= 0

λz = λ.0=0

assim λv ∈ W.Portanto W é subespaço