Ensino Médio ⇒ Potência de ponto e quadriláteros inscritiveis, IME/ITA nível 2

[lookez]

Um círculo de centro O é circunscrito a um triângulo ABC, obtusângulo em C. Traça-se o círculo de diâmetro OC, que Intersecta AB em D e D'. Se AD = 3 e DB = 4, encontre a medida de DC.

OBS: Pelo meu desenho, se AD é 3, não parece que BD será 4, talvez o enunciado quis dizer BD' = 4. Podem haver mais erros, talvez por esse motivo não consegui fazer.

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Resposta

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2√3

[jvmago]

Acho que eu tenho uma idéia para esse problema. Tenta fechar um quadrilátero na circunferência menor, vai aparecer 2 triângulos retângulos, brinca com Ptolomeu, depois usa um Stewart.

Chegando em casa eu vou verificar isso e é provável que os ângulos BcD'=AcD

[lookez]

Cara não consegui nada interessante fechando quadriláteros, estava pensando em uma semelhança usando os raios, já que sabemos R=2r.

[geobson]

........up.................

[geobson]

[ref=#c98a00]lookez[/ref], Não há erros o enunciado está correto , veja.

Prolongue a reta CD até encontrar E no círculo.
Perceba que no círculi de diâmetro CD , CD é perpendicular a OD .
Concuimos também que O é o centro do círculo maior já que OC= OE e OD portanto mediatriz de EC.
Pela relações métricas (CD)(DE)=(AD)(DB)
Mas CD=DE,
Assim:
[tex3](CD)^{2}[/tex3]=(3)(4)
CD=[tex3]\sqrt{12}[/tex3]
CD=2[tex3]\sqrt{3}[/tex3]