Pré-Vestibular ⇒ (Udesc) Trigonometria Tópico resolvido

[Vscarv]

A soma de todos os valores de x [tex3]\in [/tex3] [tex3][0,2\pi] [/tex3] que satisfazem a equação [tex3]cos^{2}(2x)-sen^{2}(x)=cos^{6}(x)[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\pi [/tex3]
b) [tex3]2\pi [/tex3]
c) [tex3]5\pi [/tex3]
d) [tex3]3\pi [/tex3]
e) [tex3]4\pi [/tex3]

Resposta

---

C

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{cos^{2}(2x)-sen^{2}x=cos^{6}x \rightarrow cos^{2}(2x)-(1-cos^2x)=cos^{6}(x)\\
cos^{2}(2x)-1+cos^{2}x=cos^{6}x\rightarrow cos(2x) = 2cos^2x-1\\
(2cos^2x-1)^2-1+cos^2x = cos^6x\rightarrow 4cos^4x-4cos^2x+1-1+cos^2x=cos^6x\\
4cos^4x-3cos^2x-cos^6x=0\rightarrow cos^2x(4cos^2x-3-cos^4x) =0\\
cos^2x = 0\rightarrow x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{3\pi}{2}\\
4cos^2x-3-cos^4x =0\rightarrow cos^2x = y\rightarrow 4y^2-3-y^2 = 0\\
y = 1 \rightarrow cos^2x = 1 \rightarrow x = 0, x = \pi\\
y = 3\rightarrow cos^2x = \cancel {3}}[/tex3]

Somando teremos: [tex3]\mathsf{0+\frac{\pi}{2}+\pi +\frac{3\pi }{2}+2\pi = 5\pi} [/tex3]