Ensino Médio ⇒ Razão áurea Tópico resolvido

[thetruthFMA]

O número de ouro, também conhecido como razão de ouro, tem sido utilizado durante séculos por pintores e arquitetos. Hoje, sabemos que f está presente em algumas curvas que aparecem na natureza, como na margarida, no girassol e na concha do molusco náutilo.
Dizemos que um ponto P (figura 1) divide um segmento AB na razão de ouro, se (AP)/ (PB) = (AB)/(AP). A razão (AB)/(AP) é chamada razão de ouro e é representada pela letra grega f (lê-se fi). Seu valor é constante, independente da medida do segmento AB.

a) Admitindo que o segmento AB (figura 2) tenha comprimento1 determine o comprimento do segmento AP, de tal modo que (AP)/ (PB) = (AB)/(AP).

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b) Determine a razão de ouro f.


c) Na figura 3, temos o famoso desenho de Leonardo da Vinci conhecido como o Homem Vitruviano. Leonardo utilizou a razão áurea na construção do desenho em vários momentos. Por exemplo, o segmento que une o ponto A (extremidade da cabeça) ao ponto B (pé) está dividido na razão áurea pelo ponto P (umbigo), sendo PB maior que AP. Sabendo que o lado do quadrado CDEF mede 16,2 cm, utilize a razão de ouro para calcular o comprimento do segmento PB (a distância do umbigo até o pé). Considere, somente neste item, que ✓5≈2,24

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(Desculpem pelo borrão, achei um pouco obsceno e podia atrapalhar a concentração kk)

Resposta

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a) [(√5)-1]/2
b) (√5 +1)/2
c)10 cm

[csmarceloMOD]

a)

[tex3]\frac{AP}{PB}=\frac{AB}{AP}[/tex3]

[tex3]\frac{AP}{PB}=\frac{1}{AP}\therefore AP^2=PB[/tex3]

Mas [tex3]AP+BP=1[/tex3]. Logo,

[tex3]AP^2=1-AP[/tex3]

[tex3]AP^2=1-AP\therefore AP^2+AP-1=0\therefore AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex3]

b)

[tex3]\frac{AB}{AP}=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}[/tex3]

c)

[tex3]AP+PB=16,2[/tex3]

E aí, você pode fazer de duas formas, mas, para chegar no gabarito, só fazendo pela primeira.

1) [tex3]\frac{AP+PB}{PB}=\frac{16,2}{PB}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}[/tex3]

2) [tex3]\frac{PB}{AP}=\frac{PB}{16,2-PB}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}[/tex3]

Daí (pela primeira forma),

[tex3]\frac{16,2}{PB}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{16,2}{PB}=\frac{2,24+1}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{16,2}{PB}=1,62[/tex3]
[tex3]PB=10[/tex3]

Pela segunda forma, o cálculo seria mais chato, pois envolveria números decimais, mas, em contra-partida, chegaríamos mais próximo do valor real de [tex3]PB[/tex3].