Ensino Superior ⇒ Função Velocidade e Função Posição - Cálculo 2 Tópico resolvido

[Juniorbatalha]

Sejam [tex3]V(t)[/tex3] a função da velocidade, [tex3]S(t)[/tex3] a função posição e [tex3]A(t)[/tex3] função aceleração, dadas com relação ao tempo [tex3]t[/tex3] em segundos. Um meteorito entrou na atmosfera do planeta terra com a velocidade inicial de 300km/h, isto é, [tex3]V(0)=S'(0)=300[/tex3], com aceleração que obedece à função [tex3]a(t)=S''(t)=100t[/tex3]. Sabe - se que, 1 segundo após sua entrada na atmosfera, o meteorito já havia percorrido 5 km.

Para este problema, a fim de simplificação, desconsidere o atrito provocado pelo ar da atmosfera sobre o meteorito, o que reduziria sua velocidade.
Sobre a entrada do meteorito na atmosfera, é verdade que após 2 segundos ele percorreu.

a) Entre 100 e 200 quilômetros.
b) Entre 200 e 300 quilômetros.
c) Entre 300 e 400 quilômetros.
d) Entre 400 e 500 quilômetros.
e) Entre 500 e 600 quilômetros.

[AnthonyC]

Vamos começar pela aceleração. Sabemos que a aceleração do meteorito era [tex3]100t[/tex3]. Assim:
[tex3]A(t)=100t[/tex3]
[tex3]V'(t)=100t[/tex3]
[tex3]\int V'(t)dt=\int 100t\,dt[/tex3]
[tex3]V(t)= {100t^2\over2}+V_0[/tex3]
[tex3]V(t)=50t^2+V_0[/tex3]
Sabemos que quando o meteorito entrou na atmosfera, ou seja, em [tex3]t=0[/tex3], sua velocidade era de [tex3]300 \text{ km}/\text{h}={250\over3} \text{ m}/\text{s}\approx83\text{ m}/\text{s}[/tex3]:
[tex3]V(0)=50\cdot0^2+V_0[/tex3]
[tex3]{250\over3}\text{ m}/\text{s}=V_0[/tex3]

[tex3]V(t)=50t^2+{250\over3}[/tex3]
[tex3]S'(t)=50t^2+{250\over3}[/tex3]
[tex3]\int S'(t)dt=\int \left[50t^2+{250\over3}\right]dt[/tex3]
[tex3]S(t)={50t^3\over3}+{250t\over3}+S_0[/tex3]

Sabemos que após 1 segundo ([tex3]t=1[/tex3]), o meteorito percorreu [tex3]5 \text {km}=5.000 \text{ m}[/tex3]
[tex3]S(1)={50\cdot1^3\over3}+{250\cdot1\over3}+S_0[/tex3]
[tex3]5.000={50\over3}+{250\over3}+S_0[/tex3]
[tex3]5.000=100+S_0[/tex3]
[tex3]4.900\text{ m}=S_0[/tex3]

[tex3]S(t)={50t^3\over3}+{250t\over3}+4.900[/tex3]
Após dois segundo a distância percorrida é:
[tex3]S(2)={50\cdot2^3\over3}+{250\cdot2\over3}+4.900[/tex3]
[tex3]S(2)={400\over3}+{500\over3}+4.900[/tex3]
[tex3]S(2)=300+4.900[/tex3]
[tex3]S(2)=5.200\text{ m}[/tex3]