Ensino Superior ⇒ Geometria Plana - Como acho essa soma ? Tópico resolvido

[buiu229]

Considere o triângulo equilátero de altura 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]. Seja P um ponto qualquer interior desses triângulo e sejam x, y e z as distâncias desse ponto aos lados do triângulo equilátero. Determine a soma dessas distâncias.

Resposta

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GABARITO: 2[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

[snooplammer]

Se é um ponto qualquer, então suponha que P é o ortocentro, acho que funciona

[buiu229]

Seja L o lado do triângulo ABC e S a sua área:

L.cos30º = h ---> L.√3/2 = 2.√3 ---> L = 4

S = L².√3/4 ---> S = 4².√3/4 ---> S = 4.√3

Escolha um ponto P interno qualquer. Por P trace as perpendiculares x, y, z, aos lados AB, AC e BC.

Trace também PA, PB e PC

S(∆ APB) + S(∆ APC) + S(∆ BPC) = S

AB.x/2 + AC.y/2 + BC.z/2 = S

4.x/2 + 4.y/2 + 4.z/2 = 4.√3

x + y + z = 2.√3