Pré-Vestibular ⇒ SL Mandic Araras 2018- Sistemas Lineares Tópico resolvido

[rebecamojon]

Me ajudem, por favor!

A tabela apresenta informações obtidas a partir de uma observação em laboratório da relação entre duas grandezas: x e y = P(xc)

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Após alguns estudos numéricos identificou-se que a relação entre as variáveis x e y é modelada por [tex3]P(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex3], em que a soma [tex3]a+b+c+d[/tex3] é igual a:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Resposta

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Gabarito: D

[MateusQqMDMOD]

Bem-vinda ao fórum, Rebeca!

A ideia desse problema é montar um sistema que relacione as informações do enunciado. Eu vou desenvolver os cálculos e qlq dúvida você manda aqui, ok?

Da tabela, podemos escrever o seguinte:

[tex3]1) \,[/tex3] Se [tex3]p(0) = 0, \,[/tex3] então:

[tex3]p(0) = a(0)^3+b(0)^2+c(0)+d \,\, \iff \,\, p(0) = d \,\, \implies \,\, d = 0 [/tex3]

Ou seja, o polinômio [tex3]p(X)[/tex3] dado no enunciado pode ser escrito da seguinte forma: [tex3]p(X)=aX^3+bX^2+cX+0, \,[/tex3] isto é, [tex3]p(X)=aX^3+bX^2+cX.[/tex3]

[tex3]2) \,[/tex3] Se [tex3]p(2) = 10, \,[/tex3] então:

[tex3]p(2) = a(2)^3+b(2)^2+c(2) \,\, \iff \,\, p(2) = 8a+4b +2c \,\, \implies \,\, 10 = 8a+4b +2c \quad \text{(I)} [/tex3]

[tex3]3) \,[/tex3] Se [tex3]p(4) = 52, \,[/tex3] então:

[tex3]p(4) = a(4)^3+b(4)^2+c(4) \,\, \iff \,\, p(4) = 64a+16b +4c \,\, \implies \,\, 52 = 64a+16b +4c \quad \text{(II)} [/tex3]

[tex3]4) \,[/tex3] Se [tex3]p(6) = 174, \,[/tex3] então:

[tex3]p(6) = a(6)^3+b(6)^2+c(6) \,\, \iff \,\, p(6) = 216a+36b +6c \,\, \implies \,\, 174 = 216a+36b +6c \quad \text{(III)} [/tex3]

Agora, devemos resolver o seguinte sistema para terminar o problema:

[tex3]\begin{cases}
10 = 8a+4b +2c \quad \text{(I)} \\\\
52 = 64a+16b +4c \quad \text{(II)} \\\\
174 = 216a+36b +6c \quad \text{(III)}\end{cases} \hspace{1,5cm} \overset{\text{simplificando}}{\Rightarrow} \hspace{1,5cm}\begin{cases}
5 = 4a+2b +c \quad \text{(I)} \\\\
26 = 32a+8b +2c \quad \text{(II)} \\\\
87 = 108a+18b +3c \quad \text{(III)}\end{cases} [/tex3]

Realizando as seguintes operações, obtemos:

[tex3]\begin{cases}
\text{(III)} - \text{(II)} - \text{(I)}: \quad 56 = 72a +8b \quad \text{(IV)} \\\\

\text{(II)} - 2\cdot\text{(I)}: \quad 16 = 24a +4b \quad \text{(V)} \\\\

\text{(IV)} - 2\cdot\text{(V)} : \quad 24 = 24a \,\, \implies a = 1

\end{cases}[/tex3]

Substituindo [tex3]a = 1[/tex3] em [tex3]\text{(V)}, \, b = -2.[/tex3] Por fim, é suficiente substituir esses valores em [tex3]\text{(I)}, \,[/tex3] de onde resulta [tex3]c = 5.[/tex3]

Portanto, [tex3]a + b + c + d = 1 -2 + 5 + 0 = 4.[/tex3]

[rebecamojon]

Muuuuuuuuuuito obrigada mesmo! Eu tinha chegado nas equações mas a conta não tava saindo de jeito nenhum, eu me embolei na hora da substituição, agora consegui compreender, obrigadaaaaaaa

[MateusQqMDMOD]

hehe as vezes aparecem muitas letras e é bem fácil de se perder mesmo. O que eu faço sempre é primeiro tentar sumir com uma das incógnitas, equação (IV), pq daí fica mais fácil de trabalhar.

De nada!