Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 1992) Função Quadrática: Máximos e Mínimos

[hinata]

Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos de medidas [tex3]20[/tex3] e [tex3]30[/tex3] metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões [tex3]x \text{ e } y,[/tex3] como indicado na figura adiante.

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a) Exprima [tex3]y[/tex3] em função de [tex3]x.[/tex3]
b) Para que valores de [tex3]x[/tex3] e de [tex3]y[/tex3] a área ocupada pela casa será máxima?

[Thales Gheós]

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a) A reta que suporta a hipotenusa é [tex3]y=-\text{tg} \alpha\cdot x+30[/tex3] e [tex3]\text{tg}{\alpha}=\frac{3}{2}.[/tex3]

Como o ponto [tex3](y,x)[/tex3] pertence a esta reta,

• [tex3]x=-\frac{3y}{2}+30\Longrightarrow y=-\frac{2}{3}x+20.[/tex3]

b) A área ocupada pela casa é dada por [tex3]A=x\cdot y.[/tex3] Desse modo,

• [tex3]A(x)=x\cdot \left(-\frac{2}{3}x+20\right)=-\frac{2}{3}x^2+20x.[/tex3]

A área será máxima para [tex3]x=-\frac{20}{2\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)} =15.[/tex3]

Portanto, [tex3]y =-\frac{2}{3}\cdot 15+20=10.[/tex3]

[hinata]

Não entendi por que usando [tex3]{-}\frac{\triangle}{4a}[/tex3] para encontrar o valor máximo de [tex3]y[/tex3] eu encontro um valor diferente de [tex3]10.[/tex3]

[Karl Weierstrass]

O que se quer calcular são as dimensões [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] que tornam a área máxima.

• [tex3]Y=A(x)=x\cdot y[/tex3]

[tex3]Y=-\frac{\triangle}{4a}[/tex3] fornece a área máxima dessa região. Observe que [tex3]Y\neq y.[/tex3]

Outra solução:

Fatore [tex3]{-}\frac{2x^2}{3}+20x:[/tex3]

• [tex3]{-}\frac{2x^2}{3}+20x=-\frac{2}{3}\cdot (x^2-30x)=-\frac{2}{3}\cdot [(x-15)^2-225]=150-\frac{2}{3}\cdot (x-15)^2[/tex3]

Essa expressão assume valor máximo quando [tex3]\frac{2}{3}\cdot (x-15)^2[/tex3] for mínimo. Isto ocorre para [tex3]x=15[/tex3] e para nenhum outro valor de [tex3]x,[/tex3] pois [tex3](x-15)^2\geq 0[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3] real.

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