IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1989) Geometria Plana: Áreas Tópico resolvido

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No quadrado [tex3]ABCD[/tex3] de área [tex3]S[/tex3] da figura acima, os pontos [tex3]E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] são médios. A área da parte hachurada é:

a) [tex3]\frac{2S}{15}.[/tex3]
b) [tex3]\frac{S}{5}.[/tex3]
c) [tex3]\frac{4S}{15}.[/tex3]
d) [tex3]\frac{S}{3}.[/tex3]
e) [tex3]\frac{2S}{5}.[/tex3]

[fabit]

O triângulo [tex3]FDC[/tex3] é congruente ao [tex3]EAD,[/tex3] sendo obtido a partir deste por uma rotação de ângulo reto em torno do centro do quadrado no sentido anti-horário.

Logo, sendo [tex3]P[/tex3] o ponto onde se cruzam os segmentos [tex3]FD[/tex3] e [tex3]EA,[/tex3] o ângulo [tex3]EPD[/tex3] é reto.

Chamando de [tex3]Q[/tex3] o cruzamento de [tex3]AE[/tex3] com [tex3]FC,[/tex3] vemos que a área hachurada é a justaposição de duas áreas iguais à do triângulo [tex3]PQD.[/tex3]

• [tex3]\frac{PD}{AD}=\frac{AD}{DF}=\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{S+\frac{S}{4}}}\Rightarrow PD=\frac{S}{\sqrt{\frac{5S}{4}}}=\frac{2S}{\sqrt{5S}}=\frac{2\sqrt{5S}}{5}[/tex3]
  
  [tex3]PQ=PD\tan{\(45^\circ-P\hat{D}A\)}=\frac{2\sqrt{5S}}{5}\times\frac{\tan{\(45^\circ\)}-\tan{\(P\hat{D}A\)}}{1+\tan{\(45^\circ\)}\tan{\(P\hat{D}A\)}}=\frac{2\sqrt{5S}\(1-\frac{1}{2}\)}{5\(1+1\times\frac{1}{2}\)}[/tex3]

Já dobrando a área de [tex3]PQD,[/tex3] temos

• [tex3]PD\times PQ=\frac{4S}{5}.\frac{1/2}{3/2}=\frac{4S}{15}.[/tex3]

Letra (c).