Ensino Médio ⇒ Intervalo de variação (Trigonometria) Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:20100)]

Sendo [tex3]x[/tex3] um número real, determine o intervalo de variação de [tex3]M = 4\sen^2\(\frac{\pi}3\sen x\) + 2[/tex3].

Resposta

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[2,5]

[snooplammer]

É pedido pra basicamente achaar o máximo e o mínimo, mas essa função tá meio estranha eu acho, kkkkj

[tex3]M = 4sen^2(\frac{\pi}3senx) + 2.[/tex3] tem esse [tex3]\sen(x) [/tex3] ali dentro mesmo?

[MateusQqMDMOD]

O valor mínimo ocorre quando [tex3]\sen^2\(\frac{\pi}3 \sen \text{x} \)[/tex3] assume seu valor mínimo. Como o seno do lado de fora está elevado ao quadrado, seu valor mínimo deve ser maior que ou igual a zero. Para que seja zero, devemos ter [tex3]\frac{\pi}{3}\sen \text{x} = 0, [/tex3] por exemplo. Agora, é suficiente perceber que existe um valor [tex3](\text{x} = 0)[/tex3] que torna esse resultado possível, então [tex3]M \geq 2.[/tex3]

Já para o valor máximo, a ideia é perceber que o seno é crescente para o primeiro quadrante, logo, o valor máximo de [tex3]\sen^2\(\frac{\pi}3 \sen \text{x} \)[/tex3] ocorrerá quando [tex3]\sen \text{x}[/tex3] for máximo. Para isso ocorrer, é suficiente que [tex3]\text{x} = \frac{\pi}{2}, \,[/tex3] o que implica [tex3]\sen^2\(\frac{\pi}3 \cdot 1 \) = \frac{3}{4}.[/tex3] Então, [tex3]M \leq 5.[/tex3]

[snooplammer]

Isso aí MateusQqMD,

Um método alternativo

Apelando um pouquinho pra derivada

[tex3]M'=8\sen\left(\frac{\pi}{3}\sen x\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\sen x\right)\frac{\pi}{3}\cos x[/tex3]

Vamos fazer [tex3]M'=0[/tex3]

[tex3]8\sen\left(\frac{\pi}{3}\sen x\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\sen x\right)\frac{\pi}{3}\cos x=0[/tex3]

[tex3]\cos x=0 \rightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex3]

[tex3]\sen\left(\frac{\pi}{3}\sen x\right)=0[/tex3]

Basta que [tex3]\frac{\pi}{3}\sen x=0[/tex3]

É suficiente que [tex3]x=0[/tex3]

[tex3]cos\left(\frac{\pi}{3}\sen x\right)[/tex3] infelizmente não é notável, vamos esquecê-lo pois pelo que eu rabisquei aqui e vi no wolfram, essa função nunca zera

Temos pontos críticos no primeiro quadrante em [tex3]x=0[/tex3] e [tex3]x=\frac{\pi}{2}[/tex3]

Irá resultar na mesma resposta do Mateus

[Auto Excluído (ID:20100)]

É pedido pra basicamente achaar o máximo e o mínimo, mas essa função tá meio estranha eu acho, kkkkj

[tex3]M = 4sen^2(\frac{\pi}3senx) + 2.[/tex3] tem esse [tex3]\sen(x) [/tex3] ali dentro mesmo?

Tem sim:

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