Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória: Princípio Fundamental da Contagem

[estrela]

Usando apenas algarismos ímpares, quantos números naturais de [tex3]3[/tex3] algarismos podemos formar de modo que haja pelo menos dois algarismos iguais?

a) [tex3]120[/tex3]
b) [tex3]80[/tex3]
c) [tex3]65[/tex3]
d) [tex3]60[/tex3]
e) [tex3]48[/tex3]

[fabit]

1ª Solução:

Temos os algarismos ímpares disponíveis: [tex3]1, 3, 5, 7, 9.[/tex3]

A restrição pelo menos dois algarismos iguais nos diz que há dois casos a considerar: (i) números com dois algarismos iguais e um diferente e (ii) números com três algarismos iguais.

Para (i), temos [tex3]C_5^2=10[/tex3] modos de escolhermos dois algarismos distintos e dois modos de escolher qual dos dois será o algarismo repetido. Além disso, ainda podemos dispor os três algarismos de [tex3]P_3^{(2)}=\frac{3!}{2!}=3[/tex3] modos. Portanto, existem [tex3]10\cdot 2\cdot 3=60[/tex3] números com exatamente dois algarismos iguais.
Para (ii), temos apenas os números [tex3]111,333,555,777 \text{ e } 999.[/tex3]

Portanto, há [tex3]60+5=65[/tex3] números com pelo menos dois algarismos iguais.

2ª Solução:

Podemos formar [tex3]5\cdot5\cdot 5=125[/tex3] números com algarismos repetidos ou não. Dentre estes números não desejamos apenas os que têm algarismos todos distintos. Logo, se existem [tex3]5\cdot 4\cdot 3=60[/tex3] números com os algarismos todos distintos, o resultado pedido é [tex3]125-60=65.[/tex3]

Letra (c).