IME / ITA ⇒ Complexos (Lista IME/ITA) Tópico resolvido

[Matgaldino]

Determine os complexos que satisfazem à seguinte equação:
[tex3]z^5 =- \overline {z} [/tex3]

Resposta

---

[tex3]z=0[/tex3] ou [tex3]z= cis (\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3})[/tex3]

[snooplammer]

Antes tava muito feio e eu tinha errado na digitação

Seja [tex3]z=|z|\cis \theta[/tex3] e [tex3]\overline{z}=|z|\cis(-\theta)[/tex3]

Então:

[tex3]|z|^5\cis5x=-|z|\cis(-x)[/tex3]

[tex3]|z|^5\cis(5x)+|z|\cis(-x)=0[/tex3]

[tex3]\cis(-x)=\frac{1}{\cis x}[/tex3]

[tex3]|z|^5\cis(5x)+\frac{|z|}{\cis x}=0[/tex3]

[tex3]\frac{|z|^5\cis 6x+|z|}{\cis x}=0[/tex3]

[tex3]|z|^4(|z|\cis 6x+1)=0[/tex3]

[tex3]|z|^4=0[/tex3]
[tex3]|z|=0[/tex3]

[tex3]Re(z)=0;Im(z)=0[/tex3]

[tex3]|z|\cis 6x+1=0[/tex3]

[tex3]|z|\cis 6x=-1[/tex3]

[tex3]|z|=1[/tex3]
[tex3]\cis 6x=-1[/tex3]

[tex3]6x=\pi[/tex3]
[tex3]x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}[/tex3]

[Matgaldino]

Tinha conseguido chegar até aqui:
[tex3]|z|\cis 6x=-1[/tex3]

Como provamos que [tex3]|z|=1[/tex3]?

[snooplammer]

Tinha conseguido chegar até aqui:
[tex3]|z|\cis 6x=-1[/tex3]

Como provamos que [tex3]|z|=1[/tex3]?

[tex3]|z|\cis 6x=-1=\cis\pi[/tex3]

[tex3]|z|\cis 6x=\cis\pi[/tex3]

Por comparação de polinômio sai que [tex3]|z|=1[/tex3] e [tex3]\cis 6x=\cis \pi[/tex3]