IME / ITA ⇒ (ITA 2013) Binômio de Newton

[Danibra7000]

ITA - 2013 - O coeficiente de [tex3]x^{4}y^{4}[/tex3] no desenvolvimento de)[tex3](1+ x + y )^{10}[/tex3] é:



Resolução: O termo de [tex3]y^{4}[/tex3] no desenvolvimento de [tex3]((1+x)+y)^{10}[/tex3] é [tex3]\begin{pmatrix}
10 \\
6 \\
\end{pmatrix}[/tex3] [tex3](1+x)^{6}[/tex3] [tex3]\cdot y^{4}[/tex3]

O termo de [tex3]x^{4}[/tex3] no desenvolvimento de [tex3](1+x)^{6}[/tex3] é [tex3]\begin{pmatrix}
10 \\
4 \\
\end{pmatrix} 1^{6} \cdot x^{4}[/tex3]

Portanto, o coeficiente de [tex3]x^{4}[/tex3] no desenvolvimento de [tex3](1+x+y)^{10}[/tex3] é [tex3]\begin{pmatrix}
10 \\
4 \\
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
6 \\
4 \\
\end{pmatrix}[/tex3] = 210 [tex3]\cdot [/tex3] 15 = 3150


O desenvolvimento do Y e do X eu entendi, agora esse [tex3]x^{6}[/tex3], não consegui entender, de onde surgiu? E o restante?
Grato.

[backstreetboy]

Qual x^6? Creio que esteja completa a resolução

[Auto Excluído (ID:21941)]

Boa noite! Também não entendi essas passagens. Meu raciocínio a partir da interpretação combinatória foi o seguinte:
Para chegar em x^4 e y^4 precisamos permutar os elementos (1), (x) e (y) em 10 lugares disponíveis. A única forma de obter tal resultado é colocar o (x) 4 vezes, o (y) 4 vezes e o (1) 2 vezes nos lugares ("nas cadeiras"). Dessa forma fiz Permutação de 10 elementos com 4, 4 e 2 repetidos [tex3]P_{10}^{4,4,2}[/tex3] =3150. Me parece correto o pensamento. Corrijam-me se estiver equivocado! Abraços...