Pré-Vestibular ⇒ (FATEC – 1978) Geometria Plana: Triângulos

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Em uma coroa circular (conforme figura acima) estão inscritas [tex3]n[/tex3] circunferências, cada uma tangente às duas vizinhas. Se o raio da circunferência interna da coroa mede [tex3]1,[/tex3] então o raio da circunferência externa da coroa mede:

a) [tex3]\frac{1+\text{sen} \pi/n}{1-\text{sen} \pi/n}.[/tex3]
b) [tex3]\frac{1+\cos \pi/n}{1-\text{sen} \pi/n}.[/tex3]
c) [tex3]\frac{1+\text{sen} 2\pi/n}{1-\text{sen} 2\pi/n}.[/tex3]
d) [tex3]\frac{1+\cos 2\pi/n}{1-\cos 2\pi/n}.[/tex3]
e) [tex3]\frac{1+\cos 2\pi/n}{1-\text{sen} 2\pi/n}.[/tex3]

Resposta:

---

a

[fabit]

Questão parece muito legal. Vou tentar:

O diâmetro das [tex3]n[/tex3] circunferências é a diferença entre os raios externo e interno, isto é, [tex3]2r=R-1.[/tex3]

Unindo os centros de duas dessas [tex3]n[/tex3] circunferências que estejam consecutivas (tangentes entre si) e unindo os centros das mesmas ao centro da circunferência interna, forma-se um triângulo isósceles de base [tex3]2r[/tex3] e lados congruentes [tex3]r+1,[/tex3] sendo que o ângulo no vértice é [tex3]\frac{2\pi}{n}.[/tex3] Traçando a bissetriz desse ângulo, que também é altura e mediana porque o triângulo é isósceles, forma-se um triângulo retângulo com vértice reto no ponto de tangência entre as circunferências de raio [tex3]r.[/tex3] Ficamos com

• [tex3]\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)=\frac{r}{r+1}\Rightarrow\frac{r+1}{r}=\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}.[/tex3]

Então

• [tex3]1+\frac{1}{r}=\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\Rightarrow\frac{1}{r}=\csc{\left(\frac{\pi}{n}\right)}-1\Rightarrow r=\frac{1}{\csc{\left(\frac{\pi}{n}\right)}-1}.[/tex3]

Por outro lado

• [tex3]2r=R-1\Rightarrow R=2r+1=2\cdot \frac{1}{\csc (\frac{\pi}{n})-1}+1.[/tex3]

Logo

• [tex3]R=\frac{2+\csc \left(\frac{\pi}{n}\right)-1}{\csc \left(\frac{\pi}{n}\right)-1}=\frac{1+\sin \left(\frac{\pi}{n}\right)}{1-\sin \left(\frac{\pi}{n}\right)}[/tex3]

Letra (a).