Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 1993) Geometria Espacial: Tronco de Cone

[jrbueno]

Uma caixa d'água tem a forma de um cone circular reto como ilustrado na figura abaixo. [tex3]7329[/tex3] litros de água foram retirados da caixa ocasionando um abaixamento de um metro no nível da água. Quantos litros de água existiam inicialmente na caixa?
Para os cálculos utilize [tex3]\pi = 3,141[/tex3]

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Olá, estou há dois dias quebrando a cabeça nesse exercício da Fuvest. Gostaria que alguém me ajudasse.
Agradeço desde já.

[marco_sx]

Olá jrbueno

[tex3]R=H=x[/tex3]

Após retirar [tex3]7329\ell[/tex3] de água da caixa a altura da água no cone passa a ser [tex3](x-1)[/tex3] e o raio da base também passa a ser [tex3](x-1).[/tex3] Temos , então, que o volume retirado é o volume de um tronco de cone com bases de raios [tex3]x[/tex3] e [tex3]x-1,[/tex3] e altura [tex3]1\text{m}.[/tex3]
Podemos achar o volume do tronco subtraindo o volume do cone que restou do volume do cone original.
[tex3]7329\ell = 7,329\text{m}^3[/tex3]

[tex3]\frac{\pi.x^3}{3} - \frac{\pi.(x-1)^3}{3}=7,329[/tex3]
[tex3]x^3-(x-1)^3=\frac{3.7,329}{3,141} \Rightarrow 3x^2-3x+1=7[/tex3]
[tex3]3x^2-3x-6=0 \Rightarrow x=2\text{m}[/tex3]

Assim, o volume inicial de água é: [tex3]V=\frac{3,141.2^3}{3}=8,376\text{m}^3=8376\ell[/tex3]