IME / ITA ⇒ (EN - 1988) Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[mvgcsdf]

No intervalo [tex3](0,2\pi),[/tex3] o número de soluções da equação [tex3]\sin^3x + \cos^3x = 1 - \frac{1}{2}sin(2x)[/tex3] é

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

[marco_sx]

Olá Marcos

[tex3]\text{sen}^3x + cos^3x= (\text{sen}x + cos x)(\text{sen}^2x - \text{sen}x . cos x + cos^2x) = (\text{sen}x + cos x)(1-\frac{1}{2}\text{sen}2x)[/tex3]

[tex3](\text{sen}x+cos x)(1-\frac{1}{2}\text{sen}2x) - (1-\frac{1}{2}\text{sen}2x)=0[/tex3]
[tex3](\text{sen}x+cos x-1)(1-\frac{1}{2}\text{sen}2x)=0[/tex3]

[tex3]1-\frac{1}{2}\text{sen}2x\neq0[/tex3]

Portanto: [tex3]\text{sen} x + cos x-1=0 \Rightarrow \text{sen}x+\text{sen}(\frac{\pi}{2}-x)=1\Rightarrow cos (x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Assim: [tex3]x=\frac{\pi}{2} + 2k\pi[/tex3] ou [tex3]x=2k\pi[/tex3]

No intervalo dado a única solução é [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3].

Alternativa B