Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 1991) Geometria Analítica: Reta e Circunferência

[estrela]

a) As extremidades de um diâmetro de uma circunferência são [tex3](-3,1) \text{ e } (5,-5).[/tex3] Determine a equação da circunferência.
b) Determine a equação da circunferência que passa pelo ponto [tex3](9,\sqrt{3})[/tex3] e que é tangente às retas [tex3]y = 0[/tex3] e [tex3]y = \sqrt{3}x.[/tex3]

[Thales Gheós]

a) O centro [tex3]C[/tex3] da circunferência é o ponto médio do diâmetro cujas extermidades são [tex3](-3,1) \text{ e } (5,-5).[/tex3] Logo,

• [tex3]C=\left(\frac{-3+5}{2},\,\frac{1-5}{2}\right)=(1,-2)[/tex3]

O raio é a distância entre o centro um ponto da circunferência. Desse modo,

• [tex3]r^2=(1+3)^2+(-2-1)^2\Longrightarrow r=5.[/tex3]

Portanto, a equação da circunferência é [tex3](x-1)^2+(y+2)^2=25.[/tex3]

b)

• 

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Sejam [tex3]B[/tex3] e [tex3]T,[/tex3] respectivamente, os pontos em que as retas [tex3]y=0 \text{ e }y=\sqrt{3}x[/tex3] tangenciam a circunferência e seja [tex3]C[/tex3] o centro da circunferência.
A reta que contém [tex3]C[/tex3] é a bissetriz do ângulo formado pelas retas [tex3]y=\sqrt{3}x \text{ e } y=0.[/tex3]

O coeficiente angular da reta [tex3]y=\sqrt{3}x[/tex3] é [tex3]\sqrt{3}.[/tex3] Então, o ângulo [tex3]B\widehat{O}T=60^\circ,[/tex3] pois [tex3]\text{tg}60^\circ=\sqrt{3}.[/tex3] Daí, [tex3]B\widehat{O}C=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ[/tex3] e

• [tex3]\text{tg}30^\circ=\frac{b}{a}\Longrightarrow a=b\sqrt{3}.[/tex3]

É fácil ver que o raio [tex3]r[/tex3] da circunferência é [tex3]r=b.[/tex3] Desse modo, se a circunferência passa pelo ponto [tex3]A(9,\sqrt{3}),[/tex3] temos

• [tex3](9- b\sqrt{3})^2+(y-b)^2=b^2\Longrightarrow 3b^2-20\sqrt{3}b+84=0\Longrightarrow \begin{cases}b=2\sqrt{3}\\\text{ ou}\\b=\frac{14\sqrt{3}}{3} \end{cases}.[/tex3]

Portanto, para [tex3]b=2\sqrt{3},[/tex3] segue que [tex3]a=6[/tex3] e a equação procurada é [tex3](x-6)^2+(y-2\sqrt{3})^2=12[/tex3] e para [tex3]b=\frac{14\sqrt{3}}{3},[/tex3] segue que [tex3]a=14[/tex3] e a equação é [tex3](x-14)^2+\left(y-\frac{14\sqrt{3}}{3}\right)^2=\frac{196}{3}.[/tex3]